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11.1.4投影与直观图课时跟踪检测[A组基础过关]1．有下列说法：①从投影的角度看，正等测画法和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的说法有()A．1个B．2个C．3个D．0个解析：由平行投影和中心投影的概念知，以上三种说法都正确，故选C．答案：C2．下列叙述中正确的个数是()①相等的角，在直观图中仍然相等；②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；③若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行；④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：从原图到直观图只能保证平行的仍然平行，故只有③正确，正确命题的个数只有1个，故选B．答案：B3．已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′(如图所示)，其中A′D′＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，则直角梯形DC边的长度是()A．5B．22C．25D．3解析：将直角梯形还原如图所示，2其中AD＝A′D′＝2，BC＝B′C′＝4，AB＝2A′B′＝2，取OC的中点E，连接DE.则DE⊥OC，∴DC＝DE2＋EC2＝4＋4＝22.答案：B4．对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．梯形的直观图可能不是梯形C．正方形的直观图为平行四边形D．正三角形的直观图一定是等腰三角形解析：根据斜二测画法画水平放置的平面图形时的画法原则可得，等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，梯形的直观图还是梯形，正方形的直观图是平行四边形，正三角形的直观图可以是一个钝角三角形，故选C．答案：C5．已知一个水平放置的正方形用斜二测画法作出的直观图是一个平行四边形，若平行四边形中有一条边为4，则此正方形的面积是()A．16或36B．36或64C．16或64D．36解析：若水平的边为4，则正方形的边长为4，面积为16.若斜边为4，则正方形的边长为8，面积为64，故选C．答案：C6．在一张不透明的胶纸上有一个小孔，在这张胶纸前有一高为2cm的线光源，且离胶纸的距离为4m，则在胶纸后面的墙上将会有一个长为________cm的光斑(已知墙离胶纸的距离为8m)．解析：本题中小孔成像是物理的光学中研究的问题，在数学中可将其视为中心投影，其实质是考查三角形的相似关系．答案：47.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．3解析：由题可知△ABC是直角三角形，如图所示，其中C为直角，∴AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，取AB边的中点D，连接CD，∴AB边上的中线CD＝12AB＝12AC2＋BC2＝52.答案：528．用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．解：画法：(1)画底面．如图①.画x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°，以点O′为中心，在x′轴上取线段MN，使MN＝4cm，在y′轴上取线段PQ，使PQ＝32cm，分别过点M和N作y′轴的平行线，过点P和Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(2)画z′轴．使z′轴与x′轴的夹角为90°.(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图，如图②.[B组技能提升]1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)是()4解析：过△DMN三个顶点D，M，N分别在投影面ADD1A1上作正投影即得．故选A．答案：A2．下列说法中正确的是()A．正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°B．水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形C．不等边三角形的水平放置的直观图是不等边三角形D．水平放置的平面图形的直观图是平面图形解析：对于A，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上且不与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“‘二测’——横不变，纵减半”的规则，因而答案不正确；对于B，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于C，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形的水平放置的直观图可以是等边三角形．答案：D3.如图是水平放置的三角形的直观图，D是△ABC的BC边的中点，AD∥y′轴，那么AB，AD，AC三条线段的长度关系是________．解析：∵AD∥y′轴，根据斜二测画法规则，则在原图形中应有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，AD为BC边上的高，则有AB，AC等长．答案：AB＝AC＞AD4.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形的面积为________．解析：将直观图还原，如图所示是平行四边形OABC，5由直观图可知OA＝O′A′＝6，O′C′＝2，∴O′D′＝22，∴OD＝42，∴SOABC＝OA·OD＝6×42＝242.答案：2425．如图，画出图中水平放置的四边形OABC的直观图．解：按斜二测画法画图．(1)画轴：画O′x′，O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上取点B′，使O′B′＝OB＝4；在y′轴上取C′，使O′C′＝12OC＝1，在x′O′y′中，对应取A′，使A′3，－12.(3)成图：顺次连接C′，B′，A′，O′，所得四边形O′A′B′C′就是四边形OABC的直观图．6．如图所示，A′B′C′D′是一个水平放置的平面图形的斜二测直观图，已知A′B′C′D′是一个直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′且B′C′与y′轴平行，又A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，试求梯形A′B′C′D′的原图形ABCD的面积．解：由斜二测画法的规则知梯形A′B′C′D′的原图形ABCD为梯形且BC⊥AB.∴AB＝A′B′＝6，DC＝D′C′＝4，6BC＝2B′C′＝22A′D′＝42，∴S四边形ABCD＝12×(6＋4)×42＝202.