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-1-3.2.1几类不同增长的函数模型【基础练习】1．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝1100exB．y＝100lnxC．y＝x100D．y＝100·2x【答案】A【解析】几种函数模型中，指数函数增长最快．故选A．2．有一组实验数据如下表所示：t12345s1．55．913．424．137下列所给函数模型较适合的是()A．y＝logax(a1)B．y＝ax＋b(a1)C．y＝ax2＋b(a0)D．y＝logax＋b(a1)【答案】C【解析】通过所给数据可知s随t增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C．3．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是()A．2xx12lgxB．2xlgxx12C．x122xlgxD．lgxx122x【答案】A【解析】结合y＝2x，y＝x12及y＝lgx的图象易知，当x∈(0,1)时，2xx12lgx．4．a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝x12，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果运动的时间足够长，则运动在最前面的物体一定是()A．aB．bC．cD．d【答案】D【解析】根据四种函数的变化特点，指数函数是一个增长最快的函数，当运动时间足够-2-长，最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体，故选D．5．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011．58522．3222．5852．8073…其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．【答案】y1【解析】从表格可以看出变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1．6．某工厂8年来某种产品的累计产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年累计产量增长的速度越来越快；②前三年累计产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后每年产量保持不变．其中说法正确的序号是________．【答案】②③【解析】由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0α1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，累计产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．7．下面给出几种函数随x取值而得到的函数值列表：x0．20．61．01．41．82．22．63．03．4…y＝2x1．1491．51622．6393．4824．5956．063810．556…y＝x20．040．3611．963．244．846．76911．56…y＝log2x－2．322－0．73700．4850．8481．1381．3791．5851．766…(1)各函数随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？【解析】(1)随着x的增大，各函数的函数值都增大．-3-(2)y＝2x开始增长的速度较慢，但随着x的增大，y增长速度越来越快；y＝x2增长速度平衡；y＝log2x开始增长速度稍快，但随x增大，y增长速度越来越慢．8．某服装厂某年1月份、2月份、3月份分别生产某名牌衣服1万件、1．2万件、1．3万件，为了估测当年每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模型模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用函数y＝p·qx＋r(其中p，q，r常数)或二次函数．又已知当年4月份该产品的产量为1．36万件，用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．【解析】若模拟函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知得a＋b＋c＝1，4a＋2b＋c＝1.2，9a＋3b＋c＝1.3，解得a＝－0.05，b＝0.35，c＝0.7，则有y＝－0．05x2＋0．35x＋0．7．因此当x＝4时，y＝1．3．若模拟函数为y＝p·qx＋r，由已知得pq＋r＝1，pq2＋r＝1.2，pq3＋r＝1.3，解得p＝－0.8，q＝0.5，r＝1.4，则有y＝－0．8×0．5x＋1．4．因此当x＝4时，y＝1．35．1．35比1．3更接近1．36．故应将y＝－0．8×0．5x＋1．4作为模拟函数．【能力提升】9．(2019年浙江湖州模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()ABCD【答案】B【解析】由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大．故选B．10．某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能更好反映销售量y与投放市场月数x之间-4-的关系是()A．y＝100xB．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋100【答案】C【解析】分别代入数据进行验证，可得A与B在x＝4时误差较大；D中的函数，当x＝4时，结果为300，与实际差很远．故选C．11．如图所示，表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1．5h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1．5h后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________．【答案】①②③【解析】看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4．5，故③正确；④错误．12．某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52,54,58．为了预测以后各月的患病人数，甲选择的了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？【解析】令y＝f(x)＝ax2＋bx＋c，由题意，得a＋b＋c＝52，4a＋2b＋c＝54，9a＋3b＋c＝58，解得a＝1，b＝－1，c＝52，∴f(x)＝x2－x＋52．∴f(4)＝42－4＋52＝64＜66，f(5)＝52－5＋52＝72＜82，-5-f(6)＝62－6＋52＝82＜115．设y＝g(x)＝p·qx＋r，由题意，得pq＋r＝52，pq2＋r＝54，pq3＋r＝58，解得p＝1，q＝2，r＝50，∴g(x)＝2x＋50．∴g(4)＝24＋50＝66，g(5)＝25＋50＝82，g(6)＝26＋50＝114＜115．∵g(4)，g(5)，g(6)比f(4)，f(5)，f(6)更接近真实值，∴应将y＝2x＋50作为模拟函数．