2020年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球课时跟

11.1.3圆柱、圆锥、圆台和球课时跟踪检测[A组基础过关]1．下列说法中，正确的是()A．平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台的一条母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台一个底面中心的截面是等腰梯形答案：C2．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥答案：D3．将半径为2，中心角为90°的扇形卷成圆锥的侧面，则圆锥的轴截面面积为()A．154B．152C．32D．62解析：设圆锥的底面半径和高分别为r，h，∵扇形弧长为圆锥底面周长，∴14×2π×2＝2πr，∴r＝12.∴高h＝22－122＝152.∴轴截面面积S＝12×2r·h＝154.答案：A4．一个圆台的上、下底面的面积分别为1cm2、49cm2，一个平行于底面的截面的面积为25cm2，则这个截面与上下底面的距离之比是()A．2∶1B．3∶1C．2∶1D．3∶1解析：把圆台O1O还原成圆锥SO，其轴截面如图所示．2其中O2为截面圆的圆心，则SO1SO＝149，SO1SO2＝125，∴SO＝7SO1，SO2＝5SO1，∴O1O2＝SO2－SO1＝4SO1，OO2＝SO－SO2＝2SO1，∴O1O2OO2＝2∶1，故选A．答案：A5．已知正方体的棱长为1，则它的内切球与外接球半径的比值为()A．3B．33C．32D．233解析：正方体的内切球的直径为正方体的棱长，则内切球的半径r1＝12，正方体的外切球的直径为正方体的体对角线，则外切球的半径r2＝32，∴r1r2＝1232＝33，故选B．答案：B6．地球半径为R，则南纬30°的纬线圈长为________．解析：如图是过球心O及纬线圈圆心O1的轴截面，则∠OAO1＝30°，AO＝R，∴AO1＝R·cos30°＝32R，∴纬线圈周长为2π·AO1＝3πR.3答案：3πR7．用长和宽分别为3π和π的矩形硬纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是________．解析：以3π为底面周长得2πr1＝3π，∴r1＝32；以π为底面周长得2πr2＝π，∴r2＝12.答案：32或128．一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长以及圆锥的轴截面的面积．解：如图，设圆锥SO的底面圆直径为AB，SO为高，SA为母线，则SO＝2，∠ASO＝30°，在Rt△SAO中，AO＝SO·tan30°＝2×33＝233，SA＝SOcos30°＝232＝433，而S△ASB＝12SO·AB＝SO·AO＝2×233＝433，所以圆锥的母线长为433，它的轴截面面积为433.[B组技能提升]1．点O1为圆锥的高中靠近顶点的一个三等分点，过O1与底面平行的截面面积是底面面积的()A．13B．23C．14D．19解析：如图，SO是圆锥SO的高，4SO1∶SO＝1∶3.∵△SO1A1∽△SOA，∴A1O1∶AO＝SO1∶SO＝1∶3.∴S⊙O1S⊙O＝πA1O21πAO2＝132＝19.∴选D．答案：D2．一个长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB＝2，AD＝3，AA1＝1，则顶点A，B间的球面距离是()A．22πB．2πC．2π2D．2π4解析：由题可得球的直径即为长方体的体对角线，即2R＝22＋32＋12＝22，∴R＝2，设球的球心为O，则OA＝OB＝2，又AB＝2，∴∠AOB＝90°，∴顶点A，B间的球面距离为14·2πR＝14·2π·2＝22π，故选C．答案：C3．一个圆柱的母线长为15cm，底面半径为12cm，则圆柱的轴截面面积是________．解析：圆柱的轴截面是矩形，一边是底面圆的直径，另一边是母线，故面积S＝12×2×15＝360(cm2)．答案：360cm24．用一个半径为10cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图，则它的最高点到桌面的距离为________．解析：如图所示，半径为10cm的半圆纸片卷成的圆锥底面半径为r，5则2πr＝10π，∴r＝5cm，且圆锥的母线为10cm，圆锥的轴截面VAB是等边三角形，高BH＝53cm，故放倒后的圆锥最高点到桌面的距离为53cm.答案：53cm5．圆台的两底面半径分别为5cm和10cm，高为8cm，有一个过圆台两母线的截面，且上、下底面中心到截面与两底面的交线的距离分别是3cm和6cm，求截面面积．解：如图，过圆台两母线的截面为等腰梯形ABB1A1，OO1为圆台的高，取AB，A1B1的中点分别为C，C1，则OC＝6cm，O1C1＝3cm.∴AB＝2AO2－OC2＝16(cm)．∴A1B1＝2A1O21－O1C21＝8(cm)，CC1＝O1O2＋OC－O1C12＝82＋6－32＝73(cm)，∴S截＝12(AB＋A1B1)·CC1＝12(16＋8)73＝1273(cm2)．6．对于矩形ABCD，若AB＝3，BC＝4，以边AB为轴旋转形成圆柱，那么绕圆柱一周的绳子由C点到D点，最短多长？解：侧面展开图如图，圆柱侧面展开后得矩形CDD′C′，对角线CD′即为所求．∵CC′＝2π·BC＝8π，CD＝AB＝3，∴CD′＝CC′2＋C′D′2＝9＋64π2.