2019-2020学年新教材高中数学 课后作业28 指数函数的性质及其应用 新人教A版必修第一册

1课后作业(二十八)复习巩固一、选择题1．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是()A.12，＋∞B.0，12C.－∞，12D.－12，12[解析]由已知，得01－2a1，解得0a12，即实数a的取值范围是0，12.故选B.[答案]B2．若0.72x－1≤0.7x2－4，则x的取值范围是()A．[－1,3]B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[解析]∵函数y＝0.7x在R上为减函数，且0.72x－1≤0.7x2－4，∴2x－1≥x2－4，即x2－2x－3≤0.解得－1≤x≤3，故选A.[答案]A[解析]构造指数函数y＝25x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减，可得bc；又y＝25x(x∈R)与y＝35x(x∈R)之间有如下结论：当x0时，有35x25x，故2，∴ac，故acb.[答案]A4．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x0时，f(x)＝()A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1[解析]由题意知f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x0时，－x0，则f(－x)＝e－x－1＝－f(x)，得f(x)＝－e－x＋1.故选D.[答案]D5．已知函数f(x)＝a2－x(a0且a≠1)，当x2时，f(x)1，则f(x)在R上()A．是增函数B．是减函数C．当x2时是增函数，当x2时是减函数D．当x2时是减函数，当x2时是增函数[解析]令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，因为当x2时，f(x)1，所以当t0时，at1.所以0a1，所以f(x)在R上是增函数，故选A.[答案]A二、填空题6．满足方程4x＋2x－2＝0的x值为________．[解析]设t＝2x(t0)，则原方程化为t2＋t－2＝0，∴t＝1或t＝－2.∵t0，∴t＝－2舍去．∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0.[答案]07．函数y＝3x2－2x的值域为________．[解析]设u＝x2－2x，则y＝3u，u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝3u≥3－1＝13，所以函数y＝3x2－2x的值域是13，＋∞.[答案]13，＋∞38．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．[解析]经过第一次漂洗，存留量为总量的14；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的14，也就是原来的142，经过第三次漂洗，存留量为原来的143，…，经过第x次漂洗，存留量为原来的14x，故解析式为y＝14x.由题意，14x≤1100，4x≥100,2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次．[答案]4三、解答题9．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)．(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)[解](1)1年后该城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3；…x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．10．已知函数f(x)＝13ax2－4x＋3.(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．[解](1)当a＝－1时，f(x)＝13－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝13x在R上是减函数，4∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝13h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；因此必有a0，12a－164a＝－1，解得a＝1，故当f(x)有最大值3时，a的值为1.综合运用11．函数f(x)＝－x＋3a，x0，ax，x≥0(a0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B.13，1C.0，13D.0，23[解析]由单调性定义，f(x)为减函数应满足：0a1，3a≥a0，即13≤a1，故选B.[答案]B12．函数y＝32x＋2·3x－1，x∈[1，＋∞)的值域为______________．[解析]令3x＝t，由x∈[1，＋∞)，得t∈[3，＋∞)．∴y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2≥(3＋1)2－2＝14.故所求函数的值域为[14，＋∞)．[答案][14，＋∞)13．要使y＝12x－1＋m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是________．[解析]解法一：函数y＝12x图象向右平移1个单位得到函数y＝12x－1的图象(如图所示过点(0,2))，当m0时，再向下平移|m|个单位就可以得到函数y＝12x－1＋m的图象．要使y＝12x－1＋m的图象不经过第一象限，需要有m≤－2.5解法二：由题意得，因为0121，所以函数y＝12x－1＋m是减函数，由函数图象不经过第一象限知，当x＝0时，y＝2＋m≤0，解得m≤－2，故m的取值范围是(－∞，－2]．[答案](－∞，－2]15．已知定义域为R的函数f(x)＝a－23x＋1(a∈R)是奇函数．(1)求a的值；(2)判断函数f(x)在R上的单调性，并证明你的结论；(3)求函数f(x)在R上的值域．[解](1)若存在实数a使函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，得a＝1.当a＝1时，f(x)＝1－23x＋1.∵f(－x)＝1－23－x＋1＝1－2·3x1＋3x＝1－23x＋1－21＋3x＝－1＋21＋3x＝－f(x)，∴f(x)为R上的奇函数．∴存在实数a＝1，使函数f(x)为R上的奇函数．(3)f(x)＝1－23x＋1中，3x＋1∈(1，＋∞)，∴23x＋1∈(0,2)．∴f(x)的值域为(－1,1)．