数形结合与几何直观

例谈数形结合与几何直观[e-mail]唐彩斌课程标准2011版从双基到四基•双基：基础知识，基本技能。•四基：基础知识、基本技能、基本活动经验，基本思想；数学课程标准2011版从两能到四能•分析问题；•解决问题；•发现问题；•提出问题；数学课程标准2011版从6大核心到10大核心数感符号感空间观念统计观念推理能力应用意识10大核心素养数感符号意识空间观念几何直观数据分析观念运算能力推理能力应用意识创新意识模型思想几何直观•几何直观是指利用图形描述和分析问题。•借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。•几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。备注：“义务教育数学课程标准”2011版，北京师范大学出版社。•数与形的结合•数概念的直观；•运算的直观；•运算规律的直观；•解决问题中的直观；提纲数概念中的直观从数到运算520131018501单位“1”怎么找3.1415？0.001÷10÷10÷100.110.01100011001101运算中的直观•加法就是往右移，减法就是往左移。•乘法就是往右移动相同的格数；数轴上直观表示•分数的运算与整数的运算结合起来。•分数是分数单位的累加，分数的运算也就是分数单位相同后整数的运算。分数四则运算•借助直观模型。分数四则运算竖式计算28×1514028420横式计算：28×15=20×10+20×5+10×8+5×8=200+100+80+40=420。竖式计算28×1524018420两位数乘两位数•中国古代算法：铺地锦问题•67×98,66×99，哪个乘积大？运算规律中的直观加法交换律•感受不完全归纳•列出算式；•计算结果；•提出猜测；•举例验证；•得出结论。加法结合律情境的现实性与数学的规律性很一致。乘法分配律•从计算长方形周长的过程中，长×2+宽×2=（长+宽）×2；引出乘法分配律；•用乘法分配律解释两位数乘两位数的原理；乘法分配律的直观模型。32701234567895432198764+9=138+5=1320以内进位加法：•分数的大小比较坐标与图形:•用数对表示C点的位置；并画出这个长方形的另外两条边。•如果以BC所在的直线为对称轴作出这个长方形的轴对称图形，请用数对表示A点所对应的点的位置。•将这个长方形向上平移一格，用数对表示出移动后长方形四个顶点的位置。yxo12345671234ABD解决问题中的直观策略•欧拉解决哥尼斯堡“七桥问题”。•有一桶油，第一次取出这桶油的20％，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？•画线段图：•画草图：怎样让学生学会？这桶油的20％，12千克这桶油的1/2鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少只？策略1：尝试与猜想：1只鸡，7只兔，腿的总条数是30，腿多了，减少兔子的数量，再尝试；策略2：列表尝试：鸡兔各4只，那么腿24只，腿少了，增加鸡的数量，再尝试；策略3：用画图的方法，先按照都是鸡画好，再在此基础上添上腿，添上2只腿就表明多了1只兔。•策略4：假设全是鸡，也可以假设全是兔，也可以假设一半是鸡一半是兔；•策略5：方程思路：用□表示鸡的只数，用○表示兔的只数，根据已知条件可以发现□＋○＝8，2□＋4○＝22；由此可以得到2（□＋○）＋2○＝22，2○＝22－16，○＝3。•策略6：面积图，利用长方形面积公式来计算组合图形的面积。2只脚4只脚8个头无论什么策略都有培养的过程。•线段图是一种重要的解题策略；•新加坡的模型法与此类似，从小培养学生标准画图，找到“标准量”为突破口；线段图典型题•明明和佳佳共520元，明明花去自己钱的2/5，佳佳花去40元，他们所剩的钱一样多，明明原来有多少钱？•8个单位=520—40=480明明佳佳52040重视利用线段图•在解决问题的过程中才能发现问题；•在画线段的过程中才能学会画线段图；•简单的问题为了解决这个问题可以不画线段图，但是将来为了能用线段图来解决复杂的问题，可能就需要开始学习画线段图；几何直观：归一问题综合实践中的直观策略★逻辑思维能力数独四棵树，怎样栽，使得任两棵树之间距离相等?二维和三维之间的转换5个朋友参加完聚会，一一道别，如果每两人都握一次手，一共要握多少次手?怎样用形来帮助思考？ABCDE数形结合诗数形本是相依偎，焉能纷作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.几何代数统一体，永远联系莫分离.华罗庚最后的画与最后的话：这是一棵什么树？这是一棵勾股树。也称智慧树。Thanks。欢迎访问新思维数学网http:唐彩斌