圆锥曲线大题练习

完美WORD格式.整理.专业资料分享.1.已知动直线l与椭圆C:22132xy交于P11,xy、Q22,xy两不同点，且△OPQ的面积OPQS=62,其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明2212xx和2212yy均为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求||||OMPQ的最大值；（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得62ODEODGOEGSSS?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.2.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.（I）设12e，求BC与AD的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由3.设，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线yx上运动，点Q满足QABQ，经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足MPQM,求点P的轨迹方程。4.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足MB//OA，MA•AB=MB•BA，M点的轨迹为曲线C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。完美WORD格式.整理.专业资料分享.5.在平面直角坐标系xOy中，点(,)Pab(0)ab为动点，12,FF分别为椭圆22221xyab的左右焦点．已知△12FPF为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线2PF与椭圆相交于,AB两点，M是直线2PF上的点，满足2AMBM，求点M的轨迹方程．6.已知抛物线1C:2xy，圆2C:22(4)1xy的圆心为点M（Ⅰ）求点M到抛物线1c的准线的距离；（Ⅱ）已知点P是抛物线1c上一点（异于原点），过点P作圆2c的两条切线，交抛物线1c于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程7.如图7，椭圆)0(1:22221babyaxC的离心率为23，x轴被曲线bxyC22:截得的线段长等于1C的长半轴长.求1C，2C的方程；设2C与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与2C相交于点A，B，直线MA，MB分别与1C相交于点D，E.(ⅰ)证明：MEMD;(ⅱ)记MAB,MDE的面积分别为21,SS，问：是否存在直线l，使得321721SS？请说明理由.完美WORD格式.整理.专业资料分享.1.已知动直线l与椭圆C:22132xy交于P11,xy、Q22,xy两不同点，且△OPQ的面积OPQS=62,其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明2212xx和2212yy均为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求||||OMPQ的最大值；（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得62ODEODGOEGSSS?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.【解析】（I）解：（1）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以2121,.xxyy因为11(,)Pxy在椭圆上，因此2211132xy①又因为6,2OPQS所以116||||.2xy②；由①、②得116||,||1.2xy此时222212123,2,xxyy（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为,ykxm由题意知m0，将其代入22132xy，得222(23)63(2)0kxkmxm，其中22223612(23)(2)0,kmkm即2232km…………（*）又212122263(2),,2323kmmxxxxkk所以22222121222632||1()41,23kmPQkxxxxkk因为点O到直线l的距离为2||1,mdk所以1||2OPQSPQd2222212632||12231kmmkkk2226||3223mkmk，又完美WORD格式.整理.专业资料分享.6,2OPQS整理得22322,km且符合（*）式，此时222221212122263(2)()2()23,2323kmmxxxxxxkk222222121212222(3)(3)4()2.333yyxxxx综上所述，222212123;2,xxyy结论成立。（II）解法一：（1）当直线l的斜率存在时，由（I）知116||||,||2||2,2OMxPQy因此6||||26.2OMPQ（2）当直线l的斜率存在时，由（I）知123,22xxkm22212122222212122222222222222332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),(23)yyxxkkmkmmmmmxxyykmOMmmmmkmmPQkkmm所以2222111||||(3)2(2)2OMPQmm2211(3)(2)mm222113225()24mm所以5||||2OMPQ，当且仅当221132,2mmm即时，等号成立.综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5.2解法二：因为222222121221214||||()()()()OMPQxxyyxxyy222212122[()()]10.xxyy完美WORD格式.整理.专业资料分享.所以224||||102||||5.25OMPQOMPQ即5||||,2OMPQ当且仅当2||||5OMPQ时等号成立。因此|OM|·|PQ|的最大值为5.2（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得6.2ODEODGOEGSSS证明：假设存在11226(,),(,),(,)2ODEODGOEGDuvExyGxySSS满足，由（I）得22222222222212121212222222121212123,3,3;2,2,2,3;1.25,,,,,1,2uxuxxxvyvyyyuxxvyyuxxvyy解得因此只能从中选取只能从中选取因此D，E，G只能在6(,1)2这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与62ODEODGOEGSSS矛盾，所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.2.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.（I）设12e，求BC与AD的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)xybyxCCababaa设直线:(||)lxtta，分别与C1，C2的方程联立，求得2222(,),(,).abAtatBtatba………………4分完美WORD格式.整理.专业资料分享.当13,,,22ABebayy时分别用表示A，B的纵坐标，可知222||3||:||.2||4BAybBCADya………………6分（II）t=0时的l不符合题意.0t时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即2222,baatatabtta解得222221.abetaabe因为2212||,01,1,1.2etaeee又所以解得所以当202e时，不存在直线l，使得BO//AN；当212e时，存在直线l使得BO//AN.3.设，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线yx上运动，点Q满足QABQ，经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足MPQM,求点P的轨迹方程。【命题意图】：本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。【解析】：由QMMPuuuruuur知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设(,)Pxy，(,)Qxy，(,)Mxx，则()xyyx，即()()yxyxxy①完美WORD格式.整理.专业资料分享.再设(,)Bxy,由BQQAuuuruur，即(,)(,)xxyyxy，解得()()xxyy②将①代入②式，消去y得()()()xxyxy③又点B在抛物线yx上，所以yx，再将③式代入得()()[()]xyx，即()()()()xyxx，即()()()xy，因为，等式两边同时约去()得xy这就是所求的点P的轨迹方程。【解题指导】：向量与解析几何相结合时，关键是找到表示向量的各点坐标，然后利用相关点代入法或根与系数关系解决问题，此外解析几何中的代数式计算量都是很大的，计算时应细致加耐心。4.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足MB//OA，MA•AB=MB•BA，M点的轨迹为曲线C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。解析;(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MAuuur=（-x,-1-y）,MBuuur=(0,-3-y),ABuuur=(x,-2).再由题意可知（MAuuur+MBuuur）•ABuuur=0,即（-x,-4-2y）•(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=14x2-2.完美WORD格式.整理.专业资料分享.(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C：y=14x2-2上一点，因为y'=12x,所以l的斜率为12x0因此直线l的方程为0001()2yyxxx，即2000220xxyyx。则o点到l的距离20020|2|4yxdx.又200124yx，所以2020220014142(4)2,244xdxxx当20x=0时取等号，所以o点到l距离的最小值为2.点评：此题考查曲线方程的求法、直线方程、点到直线的距离、用不等式求最值以及导数的应用等。要把握每一个环节的关键。5.在平面直角坐标系xOy中，点(,)Pab(0)ab为动点，12,FF分别为椭圆22221xyab的左右焦点．已知△12FPF为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线2PF与椭圆相交于,AB两点，M是直线2PF上的点，满足2AMBM，求点M的轨迹方程．解：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.（I）解：设12(,0),(,0)(0)FcFcc由题意，可得212||||,PFFF即22()2.acbc整理得22()10,1cccaaa得（舍），或1.2ca所以1.2e（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知2,3acbc,可得椭圆方程为2223412xyc.直线2PF方程为完美WORD格式.整理.专业资料分享.3()yxc,A,B两点的坐标满足方程组22234123()xycyxc,消去y并整理,得2580xc