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数学复习---球的切、接、截面问题(附参考答案)一．选择题（共16小题）1．（2014•广西）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．2．（2014•宝鸡三模）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）A．4πB．8πC．D．3．（2014•锦州一模）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．29πB．30πC．D．216π4．（2014•西藏一模）三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为（）A．B．C．16πD．64π5．（2014•临汾模拟）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（）A．16πB．32πC．48πD．64π6．（2014•沈阳模拟）四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12，点E、F分别为棱AB、AC的中点，则球O截直线EF所得弦长为（）A．6B．12C．6D．67．（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．8．（2013•河池模拟）将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．25πB．50πC．5πD．10π9．（2013•黄梅县模拟）已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（）A．B．C．D．10．（2013•郑州一模）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为、、，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．2πB．4πC．6πD．24π11．（2013•河池模拟）一个四面体A﹣BCD中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么这个四面体的外接球的表面积为（）A．50πB．25πC．D．12．（2012•南宁模拟）已知Rt△ABC的顶点都在半径为4的球O面上，且AB=3，BC=2，∠ABC=，则棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．13．在正四棱锥S﹣ABCD中，侧面与底面所成角为，则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为（）A．5B．C．10D．14．已知球O的表面积为20π，SC是球O的直径，A、B两点在球面上，且AB=BC=2，，则三棱锥S﹣AOB的高为（）A．B．C．D．115．（2014•安阳一模）如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．3πC．D．2π16．（2011•琼海一模）已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积×高）时，其高的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）17．（2014•乌鲁木齐二模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于_________．18．（2014•江西模拟）正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为_________．19．（2014•呼伦贝尔二模）设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是_________．20．（2014•河南模拟）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，所有侧棱长相等且等于a，若其外接球的半径为R，则等于_________．21．（2012•辽宁）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为_________．22．（2009•湖南）在半径为13的球面上有A，B，C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为_________；（2）过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为_________．23．正三棱锥P﹣ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是_________．24．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r=_________．截面问题一．填空题（共8小题）1．过正三棱锥一侧棱及其半径为R的外接球的球心O所作截面如图，则它的侧面三角形的面积是__．2．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为_________（只填写序号）．3．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是_________．4．已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为_________．5．（2012•桂林模拟）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为_________．6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个球与正方体的各个面都相切，经过DD1和BB1作一个截面，正确的截面图是_________．7．已知空间中动平面α，β与半径为5的定球相交所得的截面的面积为4π与9π，其截面圆心分别为M，N，则线段|MN|的长度最大值为_________．8．球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为_________．9．（2014•上海二模）设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为r的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？2015年高三数学复习---球的切接问题组参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2014•广西）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．点评：本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．2．（2014•宝鸡三模）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）A．4πB．8πC．D．考点：球内接多面体．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．解答：解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=．故选C．点评：本题是中档题，考查三棱柱的外接球的表面积的求法，外接球的半径是解题的关键，考查计算能力．3．（2014•锦州一模）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．29πB．30πC．D．216π考点：球内接多面体；球的体积和表面积．菁优网版权所有专题：计算题．分析：几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．解答：解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径：，球的半径为：．该三棱锥的外接球的表面积为：，故选A．点评：本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．4．（2014•西藏一模）三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为（）A．B．C．16πD．64π考点：球内接多面体；球的体积和表面积．菁优网版权所有专题：计算题．分析：通过已知条件，判断SC为球的直径，求出球的半径，即可求解球的体积．解答：解：由题意，所以AC2+SA2=SC2，BC2+SB2=SC2，SC是两个截面圆SAC与SCB的直径，所以SC是球的直径，球的半径为：2．所以球的体积为：=．故选B．点评：本题考查球与球的内接多面体关系，球的体积的求法，推出球的直径是解题的关键，考查计算能力．5．（2014•临汾模拟）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（）A．16πB．32πC．48πD．64π考点：球内接多面体．菁优网版权所有专题：球．分析：由题意把A、B、C、P扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的体积．解答：解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、P扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，PA=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，∴AB=3，∴AE==．AO==2．所求球的体积为：（2）3=32π．故选：B．点评：本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．6．（2014•沈阳模拟）四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12，点E、F分别为棱AB、AC的中点，则球O截直线EF所得弦长为（）A．6B．12C．6D．6考点：球内接多面体；球的体积和表面积．菁优网版权所有专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：把四面体补成正方体，两者的外接球是同一个，求出正方体的棱长，然后求出正方体的对角线长，可得正四面体的外接球的半径，求出球心到EF的距离，即可求出球O截直线EF所得弦长．解答：解：如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是6，正方体的对角线长为：6，正四面体的外接球的半径为：3．设球心为O，O到EF的距离为d，则d==3．∴O截直线EF所得弦长为2=6．故选：A．点评：本题是基础题，考查空间想象能力，正四面体的外接球转化为正方体外接球，使得问题的难度得到降低，问题得到解决，注意正方体的对角线就是球的直径，也是比较重要的．7．（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．解答：解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，所以球的半径为：．故选C．点评：本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．8．（2013•河池模拟）将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．25πB．50πC．5πD．10π考点：球内接多面体．菁优网版权所有专题：计算题．分析：折叠后的四面体