3.2独立性检验的基本思想及其初步应用--公开课用

3.2独立性检验的基本思想及其初步应用1.两种变量及研究相关关系的方法：变量分类变量定量变量例如：身高、体重、考试成绩，温度等等3）例如是性别，吸烟，患肺癌，宗教信仰等等1）变量的不同“值”表示个体的不同类别的变量（也叫属性变量或者定性变量）定量变量的取值一定是实数，它们的取值大小有特定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义。2）分类变量的取值一定是离散的研究两个定量变量相关关系的方法：回归分析（画散点图，相关系数r,相关指数R2,残差分析等）4）研究两个分类变量相关关系的方法：①通过图形直观判断两个分类变量是否相关；②独立性检验法.本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们主要考虑分类变量的之间是否有关系：例如……在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法。一.引入新课：2.引入：二.问题：为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）思考：根据以上表格。能否断定吸烟对患肺癌有影响？判断的方法是什么？不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965列联表：列出两个分类变量的频数表2×2列联表方法1.用频率估计概率方法2.通过图形直观判断由列联表可算出，在不吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是0.54%2.28%根据统计分析的思想，用频率估计概率可知，吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大由上述图形显然可以得到结论：吸烟与患肺癌有关注意：与表格相比，图形能更直观地反映出相关数据的总体状况。患肺癌比例不患肺癌比例等高条形图首先，假设结论不成立，即记H0：吸烟和患肺癌之间没有关系思考：通过数据和图表分析，得到结论是：吸烟与患肺癌有关.这种判断可靠吗？你能有多大把握认为“患病与吸烟有关”呢？吸烟与患肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d吸烟的人中不患肺癌的比例：baa不吸烟的人中不患肺癌的比例：dcc若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则在吸烟者中不患肺癌的比例应该与不吸烟中不患肺癌的比例应差不多，即22n（ad-bc）K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，我们引入一个随机变量（其中n=a+b+c+d为样本容量)作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准思考：k2大小的标准是什么呢？0k临界值在假设H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”成立的前提下，则K2应该很小.。故，当K2很小时，说明在一定可信程度上假设H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”成立当K2很大时，说明没有充分的证据说明假设H0成立，即没有充分的证据说明“吸烟与患肺癌没有关系”成立，即“吸烟与患肺癌有关系”成立，分析：K2越小，|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；K2越大，|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强.10.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.445k0.0010.0050.0100.0250.050.100.150.50.400.502()PKk临界值表（1）如果k=10.828，就有99.9%的把握认为“X与Y有关系”；（2）如果k=6.635，就有99%的把握认为“X与Y有关系”；（3）如果k=2.706，就有90%的把握认为“X与Y有关系”；（4）如果k=2.706，就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系”但也不能作出结论“H0成立”，即X与Y没有关系。例如：对于两个分类变量X与Y02220:9965(777549422099)56.63278172148987491(10.828)0.00156.631KPK解：假设H吸烟与患肺癌没有关系的观测值为k根据临界值表可知远大于10.828，所以有理由判断H不成立，所以吸烟与患癌症有关系。注：1）这种判断可能会犯错误，但是犯错误的概率不会超过0.001，这是个小概率事件，即我们有99.9％的把握认为“吸烟与患癌症有关系”2）用统计量来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为这两个分类变量的独立性检验。2k在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）A、若K的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99个患肺病B、从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病C、若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推理出现错误D、以上三种说法都不对c注意：反证法原理与假设检验原理区别：反证法原理在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立。假设检验原理在一个已知假设下，如果推出一个小概率事件发生，则推断这个假设不成立的可能性很大。小结：一般地，对于两个分类变量X和Y。X有两类取值：即类和（如吸烟与不吸烟）；Y也有两类取值：即类和（如患病与不患病）。于是得到下列样本频数的2×2列联表为：x1x2y2y1y2a+b+c+db+da+c总计c+ddca+bba总计y1x1x2思考：你能从上述探究过程中总结出用独立性检验法判断两个分类变量有关系的解题步骤吗？要推断“X和Y有关系”，可按下面的步骤进行：（1）提出假设H0：X和Y没有关系；（3）查对临界值，作出判断。（2）根据2×2列联表与公式计算的值；k注：由于抽样的随机性，由样本得到的推断有可能正确，也有可能错误。利用进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本量n越大，估计越准确。2例1.秃头与患心脏病在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶，而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。（1）利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系；（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？解：根据题目所给数据得到如下列联表：患心脏病不患心脏病总计秃顶214175389不秃顶4515971048总计6657721437221437(214597175451)16.3736.635.3891048665772K因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为秃顶与患心脏病有关系。（2）根据列联表中的数据，得到（1）根据列联表中的数据，得到等高条形图如下图所示，由等高条形图可以发现，秃顶样本中患心脏病的频率明显高于不秃顶样本中患心脏病的频率，因此可以认为秃顶与患心脏病有关系。为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男3785122女35143178总计72228300解：在假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”的前提下K2应该很小，并且例2.性别与喜欢数学课由表中数据计算K2的观测值k≈4.513。能够有95％的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系？2(3.841)0.05,PK而我们所得到的K2的观测值k≈4.5133.841，这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论错误的可能性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”。思考：例1、2的结论是否适用于普通的对象？在掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，就可以模仿例1中的计算解决实际问题，而没有必要画相应的图形。注：图形可帮助向非专业人士解释所得结果；也可以帮助我们判断所得结果是否合理分析：例1这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院的病人群体．例2的结论只适合被调查的学校。大家要注意统计结果的适用范围（这由样本的代表性所决定）用独立性检验法来判断两个变量X与Y有关的一般步骤：3.列表——设两个变量的值域分别为{x1,x2}{y1.,y2},列2x2列联表y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d5.查表——利用统计概率表查找临界值时发生的概率4.计算——利用公式计算变量X与Y的观测值k6.下结论——得出概率结论.根据随机变量K2的含义，评价假设不合理的程度，如由实际计算出的k6.635，说明假设不合理的程度约为99%，即有99%的把握认为两个分类变量有关系，或在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个分类变量有关系。否则就说由样本观测数据没有充分证据显示“X与Y有关系”.2.假设——假设H0：两个变量X与Y没有关系成立1.确定临界值k0——根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：得病不得病总计干净水52466518不干净水94218312总计146684830(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人．不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．[解析](1)假设H0：传染病与饮用水无关．把表中数据代入公式得：K2的观测值k＝830×52×218－466×942146×684×518×312≈54.21，∵54.21＞10.828，所以H0不成立．因此我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关．(2)依题意得2×2列联表：得病不得病总计干净水55055不干净水92231总计147286此时，K2的观测值k＝86×5×22－50×9214×72×55×31≈5.785.由于5.785＞5.024，所以我们有97.5%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有关．两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)中我们只有97.5%的把握肯定，1、理解分类变量，会作列联表及等高条形图，并能够通过等高条形图粗略估计两个分类变量之间是否有关系2、利用判断两个分类变量之间是否有关系3、了解独立性检验的思想2K作业：P97习题1，2