第3讲-空间向量及其应用(理)

2021/5/27第三讲空间向量及其应用(理)专题四2021/5/27命题角度聚焦方法警示探究核心知识整合命题热点突破课后强化作业学科素能培养2021/5/27命题角度聚焦2021/5/27•(1)一般不单独命制空间向量的概念与运算的题目．•(2)若在客观题中考查，通常是在几何体中求空间角．2021/5/27•(3)本部分一般每年考一道大题，试题一般以多面体为载体，分步设问，既考查综合几何也考查向量几何，诸小问之间有一定梯度，大多模式是：诸小问依次讨论线线垂直与平行→线面垂直与平行→面面垂直与平行→异面直线所成角、线面角、二面角→体积的计算．强调作图、证明、计算相结合．考查的多面体以三棱锥、四棱锥(有一条侧棱与底面垂直的棱锥、正棱锥)、棱柱(有一侧棱或侧面与底面垂直的棱柱，或底面为特殊图形一如正三角形、正方形、矩形、菱形、直角三角形等类型的棱柱)为主．2021/5/27核心知识整合2021/5/27•1．共线向量与共面向量•(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.•(2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.2021/5/27•2．两个向量的数量积•向量a、b的数量积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．•向量的数量积满足如下运算律：•①(λa)·b＝λ(a·b)；•②a·b＝b·a(交换律)；•③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．2021/5/273．空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一有序实数组{x，y，z}，使p＝xa＋yb＋zc.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→.2021/5/27•4．空间向量平行与垂直的坐标表示•设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，•则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；•a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.2021/5/275．模、夹角和距离公式(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23.(2)距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB→|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.2021/5/27(3)平面的法向量如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α.如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．6．空间角的类型与范围(1)异面直线所成的角θ：0θ≤π2；(2)直线与平面所成的角θ：0≤θ≤π2；(3)二面角θ：0≤θ≤π.2021/5/277．用向量求空间角与距离的方法(1)求空间角：设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的法向量分别为n、m.①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ＝|a·b||a||b|.②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|a·n||a||n|.③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|cosθ|＝|n·m||n||m|.2021/5/27(2)求空间距离①直线到平面的距离，两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离．点P到平面α的距离：d＝|PM→·n||n|(其中n为α的法向量，M为α内任一点)．②设n与异面直线a，b都垂直，A是直线a上任一点，B是直线B上任一点，则异面直线a、b的距离d＝|AB→·n||n|.2021/5/27命题热点突破2021/5/27•空间的平行与垂直已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.(1)求证：BC1⊥AB1；(2)求证：BC1∥平面CA1D.2021/5/27•[分析]本题可以根据三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，且AC⊥BC，以C1点为坐标原点，C1A1、C1B1、C1C所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，然后利用向量解决．2021/5/27[解析]如图所示，以C1为原点，C1A1、C1B1、C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∵AC＝BC＝BB1，设AC＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．2021/5/27(1)由于BC1→＝(0，－2，－2)，AB1→＝(－2,2，－2)，所以BC1→·AB1→＝0－4＋4＝0，因此BC1→⊥AB1→，故BC1⊥AB1.2021/5/27(2)解法1：由于CA1→＝(2,0，－2)，CD→＝(1,1,0)，若设BC1→＝xCA1→＋yCD→，则得2x＋y＝0y＝－2－2x＝－2，解得x＝1y＝－2，即BC1→＝CA1→－2CD→，所以BC1→、CA1→、CD→是共面向量，因此BC1∥平面CA1D.2021/5/27解法2：设平面CA1D的法向量为n＝(x，y，z)，则n·CA1→＝0n·CD→＝0，即x，y，z·2，0，－2＝0x，y，z·1，1，0＝0，∴2x－2z＝0x＋y＝0.2021/5/27不妨令x＝1，则y＝－1，z＝1，∴n＝(1，－1,1)．又∵BC1→＝(0，－2，－2)，∴BC1→·n＝1×0＋(－2)×(－1)＋(－2)×1＝0.∴BC1→⊥n.又∵BC1在平面CA1D外，∴BC1∥平面CA1D.2021/5/27•[点评]注意到直三棱柱中，侧面AA1C1C为矩形，对角线AC1与A1C互相平分，故连接AC1与A1C交于点E，则DE∥BC1，第二问易证．在解答立体几何问题时，可以用向量法，也可以用综合几何方法，原则是方便、快捷、正确、规范就行．2021/5/27在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点．求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.2021/5/27[证明](1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，所以BA→＝(a,0,0)，BD→＝(0,2,2)，B1D→＝(0,2，－2)，B1D→·BA→＝0，B1D→·BD→＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD，又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.2021/5/27(2)由(1)知，E(0,0,3)，G(a2，1,4)，F(0,1,4)，则EG→＝(a2，1,1)，EF→＝(0,1,1)，B1D→·EG→＝0＋2－2＝0，B1D→·EF→＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF，又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.2021/5/27•[方法规律总结]•1．空间的平行与垂直关系的判断与证明，既可用综合几何方法解决，也可用向量几何方法解决．•2．用向量方法研究空间线面位置关系．•设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的法向量分别为e1，e2，A、B、C分别为平面α内相异三点(其中l1与l2不重合，α与β不重合)，则•①l1∥l2⇔a∥b⇔存在实数λ，使b＝λa(a≠0)；l1∥α⇔a·e1＝0⇔a⊥b⇔a·b＝0.2021/5/27②l1⊥α⇔a∥e1⇔存在实数λ，使e1＝λa(a≠0)；l1∥α⇔a·e1＝0⇔存在非零实数λ1，λ2，使a＝λ1AB→＋λ2AC→.③α∥β⇔e1∥e2⇔存在实数λ，使e2＝λe1(e1≠0)；α⊥β⇔e1⊥e2⇔e1·e2＝0，α⊥β⇔e2⊥AB→，e2⊥AC→.2021/5/273．平面的法向量求法在平面内任取两不共线向量a，b，设平面的法向量n＝(x，y，z)，利用n·a＝0，n·b＝0，建立x、y、z的方程组，取其一组解．2021/5/27•空间的角如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，直线PD与底面ABCD所成的角等于30°，PF＝FB，E∈BC，EF∥平面PAC.(1)求BEEC的值；(2)求二面角P－DE－A的余弦值；(3)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．2021/5/27[解析](1)∵平面PBC∩平面PAC＝PC，EF⊂平面PBC，∵EF∥平面PAC，所以EF∥PC，又F是PB的中点，∴E为BC的中点，则BEEC＝1.2021/5/27(2)以A为坐标原点，分别以AD、AB、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，∵PA＝AB＝1，PA⊥底面ABCD，∴直线PD与底面ABCD所成的角为∠PDA＝30°，∴AD＝3，2021/5/27则P(0,0,1)，B(0,1,0)，C(3，1,0)，E(32，1,0)，D(3，0,0)，于是DE→＝(－32，1,0)，PE→＝(32，1，－1)设平面PDE的法向量n1＝(x，y，z)，∴n1·DE→＝0，n1·PE→＝0，－32x＋y＝032x＋y－z＝0，x＝33zy＝12z，2021/5/27令z＝1得n1＝(33，12，1)，又平面ADE的法向量n2＝(0,0,1)，∴cosθ＝n1·n2|n1|·|n2|＝113＋14＋1＝25719，故二面角P－DE－A的余弦值为25719.2021/5/27(3)∵PC→＝(3，1，－1)，又平面PDE的法向量为n1＝(33，12，1)，设直线PC与平面PDE所成的角为α，则sinα＝|n1·PC→||n1|·|PC→|＝|1＋12－1|3＋1＋113＋14＋1＝28595，故直线PC与平面BDE所成角的正弦值为28595.2021/5/27(2014·天津理，17)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．2021/5/27(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．2021/5/27[解析]解法一：由题意易知AP、AB、AD两两垂直，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．2021/5/27(1)证明：BE→＝(0,1,1)，DC→＝(2,0,0)，故BE→·DC→＝0，所以BE⊥DC.(2)BD→＝(－1,2,0)，PB→＝(1,0，－2)，设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，则n·BD→＝0，n·PB→＝0.即－x＋2y＝0，x－2z＝0.2021/5/27不妨令y＝1，可得n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量，于是有cos〈n，BE→〉＝n·BE→|n|·|BE→|＝26×2＝33.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.2021/5/27(3)向量BC→＝(1,2,0)，CP→＝(－2，－2,2)，AC→＝(2,2,0)，AB→＝(1,0,0)，由点F在棱PC上，设CF→＝λCP→，0≤λ≤1.故BF→＝BC→＋CF→＝BC→＋λCP→＝(1－2λ，2－2λ，2λ)，由BF⊥AC，得BF→·AC→＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34，即BF→＝(－12，12，32)．2021/5/27设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，则n1·AB→＝0，n1·BF→＝0.即