盈亏问题

盈亏问题一聪教育张小虎第一次分配：每人把手背到身后，教师拿出铅笔若干(数目为20支)，在六个同学手里放上铅笔，每人3支。老师分给他们每人3支，我手中还剩余2支铅笔。当我们在分配物品的时侯，经常会遇到有剩余（也就是盈）。收回铅笔进行第二次分配：要求学生再次把手背到身后，教师拿出同样数量的铅笔，放在六个同学手里，每人4支。现在还是那些同学手中有铅笔，老师每人分给他们4支，这些铅笔不够分，还差4支铅笔。当分配后不足时就可以说是亏。例1猴大王对小猴奖励桃子，如果给每只小猴奖12个桃，桃子差12个，如果改为给每只小猴奖10个桃，桃子多出30个。问有多少小猴及多少个桃？这个题目中有两种分配方法：按第一种分配方法桃子不够，是“亏”，亏多少呢？亏的是12个桃子。按第二种分配方法是桃子有余，是“盈”。盈的是30个桃子。按这两种方法来分，总数相差42个。总数之差是由每个小猴的奖励改变而引出的，每只小猴差12-10=2（个）。多少小猴来分桃会使总数相差42个呢？用“两次分配的总数差÷两次分配数量差=份数”，求出小猴数量，再求出桃子数量。解：小猴数：（12+30）÷（12-10）＝21（只）桃子总数：12×21-12＝240（个）或10×21+30=240（个）小结：对于这样的一盈一亏问题，解题的方法是：（盈+亏）÷两次分配差＝份数。例3：植树节，老师把同学们分组去植树，如果每组3人，则多出20人，如果每组分5人，则正好分完，问有多少人植树？当每组分3人的时候还多出20人，而当每组分5人的时候就刚好分完。所以当每组分5人时比每组分3人时多分下去20人，也就是说当每个组都有3人的时候，我们再把这20人分下去，正好给每个组2人。这20里面有多少个2，学生就有多少组，20÷2＝10（组），知道了有10个组再根据题目中的其它条件就可以求出有多少学生。小结：在盈亏问题中，如果只有盈量，没有亏量时，用盈量÷两次分配数的差＝份数例2用绳子测一口井的深度，绳子两折时，多余60厘米，绳子三折时，还差40厘米，求绳子和井深。绳子两折时，余60厘米转化理解为绳长是井深的2倍多60×2＝120（厘米）绳子三折时，差40厘米转化理解为绳长是井深的3倍少40×3＝120（厘米）例4幼儿园万老师给小朋友分苹果，每人分3个，正好分完，每人分5个，少18个。则有多少个苹果？分给几个小朋友？小朋友人数：18÷（5-3）＝9（人）苹果数：3×9＝27（个）答：有27个苹果，分给9个小朋友。小结：在盈亏问题中，如果没有盈量，只有亏量时，用亏量÷两次分配数的差＝份数，求出份数，再计算分配总量。盈亏问题的基本解法：1、对于这样的一盈一亏问题，解题的方法是：（盈+亏）÷两次分配差＝份数。2、在盈亏问题中，如果只有盈量，没有亏量时，用盈量÷两次分配数的差＝份数。3、在盈亏问题中，如果没有盈量，只有亏量时，用亏量÷两次分配数的差＝份数，求出份数，再计算分配总量。例5有一队小朋友到山上去种一批树，如果每人都种16株，还有24株树没有种；如果每人都种19株，还有6株树没有种。每人需要种多少株树正好把树种完？第一次分配盈24株树，第二次分配盈6株树所以两次分配结果差是24-6＝18（株）第一次每人分16株，第二次每人分19株两次分配数的差是19-16＝3（株）求出18里面有多少个3得到的就是小朋友人数。小朋友的人数：（24-6）÷（19-16）＝18÷3＝6（人）小结：在盈亏问题中，如果两次分配结果都出现不足，解题思路用（大不足-小不足）÷两数分配差=份数。例6一群兔子在一块地里拔萝卜，其中２只兔子各拔４个，其余的兔子各拔５个，此时地里还剩下12个萝卜。如果每只兔子都拔6个，正好拔完。问有多少只兔子？有多少个萝卜？转化条件：“其中２只兔子各拔４个，其余的兔子各拔５个，此时地里还剩下12个萝卜”相当于“所有兔子都拔５个，此时地里还剩下10个萝卜”。两次分配结果之差：12-（5-4）×2＝10（个）兔子数：10÷（6-5）＝10（只）萝卜数：6×10＝60（个）答：有10只兔子，有60个萝卜。例7：工程队修一条路，如果每天修150米，则可以提前2天完成任务，如果每天修180米，则可以提前5天完成任务，这条路全长多少米？转化条件：将“如果每天修50米，则可以提前2天完成任务”转化为：如果再修2天，还可以修150×2=300（米）；将“如果每天修180米，则可以提前5天完成任务，转化为：如果再修5天，还可以修180×5=900（米）。这样300米和900米就是两个“盈”数。如果每天修150米，可以多修300米；如果每天修180米，可以多修900米。也就是“两盈”类盈亏问题。相差的总数：180×5-150×2=600（米）每份之差：180-150=30（米）计划修的天数：（180×5-150×2）-（180-150）＝20（天）路长：150×（20-2）=2700（米）或180×（20-5）=2700（米）小结：在两次分配中都出现多余时，解题应用：（大盈-小盈）÷两次分配差=份数，同时，题目中没有直接给出盈亏数，我们要根据条件合理转化。1、在盈亏问题中，准确地找出题目中的两次分配结果差与两次分配数的差是解题的关键。2、转化条件，把较复杂的盈亏问题转化成为典型的盈亏问题，利用典型盈亏问题的公式：“两次分配结果差两次分配数的差＝份数”来解题。例8：王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果是桔子的2倍，桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个。问有多少个小朋友？有多少个苹果和桔子？分析因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个；又已知苹果每人分7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）。小朋友：（8+5）÷（6-5）=13（人）苹果：13×7-5＝86（个）桔子：13×3+4=43（个）答：有13个小朋友，96个苹果和43个桔子。小结：在已知分配的物品有两种时，不容易看出盈亏数量的变化，如果将两次分配的物品统一，就能较好的运用盈亏问题的知识解答。