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第1页，共13页选修4-4一、选择题（本大题共16小题，共80.0分）1.在同一坐标系中，将曲线𝑦=2sin3𝑥变为曲线的伸缩变换公式是( )A.{𝑥=3𝑥′𝑦=2𝑦′B.{𝑥′=3𝑥𝑦′=2𝑦C.{𝑥′=3𝑥𝑦′=12𝑦D.{𝑥=3𝑥′𝑦=12𝑦′【答案】C【解析】解：将曲线𝑦=2sin3𝑥①经过伸缩变换变为𝑦=sin𝑥即𝑦′=sin𝑥′②设伸缩变换公式是{𝑥′=𝜆𝑥𝑦′=𝜇𝑦(𝜆0，𝜇0)把伸缩变换关系式代入②式得：𝜇𝑦=sin𝜆𝑥与①的系数对应相等得到：{𝜇=12𝜆=3变换关系式为：{𝑥′=3𝑥𝑦′=12𝑦故选：C首先设出伸缩变换关系式{𝑥′=𝜆𝑥𝑦′=𝜇𝑦(𝜆0，𝜇0)，然后利用变换前的方程，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，求出相应的结果本题考查的知识点：变换前的方程，伸缩变换关系式，变换后的方程，知道其中的两个量可以求出第三个变量．2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线，则曲线C的方程为()A.25𝑥2+36𝑦2=1B.9𝑥2+100𝑦2=1C.10𝑥+24𝑦=1D.225𝑥2+89𝑦2=1【答案】A【解析】解：把代入曲线𝑥′2+4𝑦′2=1，可得：(5𝑥)2+4(3𝑦)2=1，化为25𝑥2+36𝑦2=1，即为曲线C的方程．故选：A．把代入曲线𝑥′2+4𝑦′2=1，即可得出．本题考查了曲线的变换公式的应用，属于基础题．3.在直角坐标系xOy中，点𝐴(−2，2).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为( )A.(2√2，𝜋4)B.(2√2，3𝜋4)C.(√2，𝜋4)D.(√2，3𝜋4)【答案】B【解析】【分析】本题考查极坐标下点的坐标，关键是掌握直角坐标系与极坐标系下的点的坐标的转化.设极坐标系下，点A的极坐标为(𝜌，𝜃)，由极坐标与直角坐标的转化方法，可得𝜌、𝜃的第2页，共13页值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设极坐标系下，点A的极坐标为(𝜌，𝜃)，则有𝜌=√(−2)2+22=2√2，tan𝜃=−1，则有𝜃=3𝜋4，分析可得：点A的极坐标为(2√2，3𝜋4)；故选B．4.圆𝜌=4cos𝜃的圆心到直线tan𝜃=1的距离为( )A.√22B.√2C.2D.2√2【答案】B【解析】解：圆𝜌=4cos𝜃即𝜌2=4𝜌cos𝜃，化为直角坐标方程：𝑥2+𝑦2=4𝑥，配方为：(𝑥−2)2+𝑦2=4，圆心𝐶(2，0)．直线tan𝜃=1，即𝑥−𝑦=0．∴圆心到直线tan𝜃=1的距离=|2−0|√2=√2．故选：B．圆𝜌=4cos𝜃即𝜌2=4𝜌cos𝜃，化为直角坐标方程，配方可得圆心𝐶(2，0).直线tan𝜃=1，即𝑥−𝑦=0.利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线tan𝜃=1的距离．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.在极坐标系中，曲线𝜌=2cos𝜃是( )A.过极点的直线B.半径为2的圆C.关于极点对称的图形D.关于极轴对称的图形【答案】D【解析】解：曲线𝜌=2cos𝜃化为𝜌2=2𝜌cos𝜃，∴𝑥2+𝑦2=2𝑥，配方为(𝑥−1)2+𝑦2=1，因此表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆，关于极轴对称．故选：D．曲线𝜌=2cos𝜃化为𝜌2=2𝜌cos𝜃，可得(𝑥−1)2+𝑦2=1，即可得出．本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.已知直线L的参数方程为{𝑥=1+𝑡2𝑦=2+√32𝑡(𝑡为参数)，则其直角坐标方程为( )A.√3𝑥+𝑦+2−√3=0B.√3𝑥−𝑦+2−√3=0C.𝑥−√3𝑦+2−√3=0D.𝑥+√3𝑦+2−√3=0【答案】B第3页，共13页【解析】解：因为直线L的参数方程为{𝑥=1+𝑡2𝑦=2+√32𝑡(𝑡为参数)，消去参数t，得直线l的直角坐标方程为𝑦−2=√3(𝑥−1)，即√3𝑥−𝑦+2−√3=0．故选：B．消去参数，把直线L的参数方程化为普通方程．本题考查了直线的参数方程化为普通方程的应用问题，是简单题目．7.直线的参数方程：{𝑥=2+𝑡𝑦=1+√33𝑡(𝑡为参数)，则它的倾斜角为( )A.𝜋6B.2𝜋3C.𝜋3D.−𝜋3【答案】A【解析】解：直线l的斜率𝑘=√33，∴直线的倾斜角为𝜋6．故选A．根据参数方程得出直线的斜率，即可求出倾斜角．本题考查了直线的参数方程与斜率，属于基础题．8.参数方程{𝑥=√𝑡+1𝑦=1−2√𝑡(𝑡为参数)表示的曲线不经过点( )A.(0，3)B.(1，1)C.(32，0)D.(2，−1)【答案】A【解析】解：∵参数方程{𝑥=√𝑡+1𝑦=1−2√𝑡(𝑡为参数)，∴𝑦=1−2(1−𝑥)，即2𝑥+𝑦−3=0(𝑥≥1)．在A中，∵𝑥=01，成立，故曲线不经过点A；在B中，把(1，1)代入，得：2+1−3=0，成立，故曲线经过点B；在C中，把(32，0)代入，得3+0−3=0，成立，故曲线经过点C；在D中，把(2，−1)代入，得4−1−3=0，成立，故曲线经过点D．故选：A．参数方程消去参数，得到2𝑥+𝑦−3=0.由此能求出结果．本题考查直线是不是经过点的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意参数方程与普通方程的互化的合理运用．9.设如果曲线C：{𝑥=𝑎+2cos𝜃𝑦=𝑎+2sin𝜃(𝜃为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是( )A.(−2√2，0)B.(0，2√2)C.(−2√2，0)∪(0，2√2)D.(1，2√2)【答案】C第4页，共13页【解析】解：由曲线C：{𝑥=𝑎+2cos𝜃𝑦=𝑎+2sin𝜃(𝜃为参数)消去参数𝜃化为(𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑎)2=4.(∗)以原点为圆心，2为半径的圆的方程为𝑥2+𝑦2=4．∴曲线C：{𝑥=𝑎+2cos𝜃𝑦=𝑎+2sin𝜃(𝜃为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2⇔(∗)与𝑥2+𝑦2=4有且仅有两个交点，因此0√2|𝑎|2+2，解得−2√2𝑎0或0𝑎2√2．∴实数a的取值范围是(−2√2，0)∪(0，2√2)．故选：C．由曲线C：{𝑥=𝑎+2cos𝜃𝑦=𝑎+2sin𝜃(𝜃为参数)消去参数𝜃化为(𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑎)2=4.(∗).以原点为圆心，2为半径的圆的方程为𝑥2+𝑦2=4.根据曲线C：{𝑥=𝑎+2cos𝜃𝑦=𝑎+2sin𝜃(𝜃为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2⇔(∗)与𝑥2+𝑦2=4有且仅有两个交点，利用相交两圆的充要条件即可得出．本题考查了相交两圆的充要条件、把参数方程化为普通方程，属于中档题.考查了转化思想10.若直线l的参数方程是{𝑥=1+2𝑡𝑦=2−𝑡(𝑡为参数)，则直线l的方向向量𝑑⃗⃗可能是( )A.(−2，1)B.(2，1)C.(1，2)D.(1，−2)【答案】A【解析】解：根据题意，直线l的参数方程是{𝑥=1+2𝑡𝑦=2−𝑡，则其普通方程为𝑥−1=−2(𝑦−1)，即𝑦−1=−12(𝑥−1)其斜率𝑘=−12，直线l的一个方向向量为(1，−12)，分析可得：直线l的方向向量𝑑⃗⃗可能是(−2，1)，故选：A．根据题意，将直线的方程变为普通方程，即可得直线l的斜率为−12，分析选项，即可得答案．本题考查直线的参数方程，关键是将直线的参数方程变形为普通方程．11.极坐标方程(𝜌−1)(𝜃−𝜋)=0(𝑝0)表示的图形是( )A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线【答案】C【解析】解：极坐标方程(𝜌−1)(𝜃−𝜋)=0(𝜌0)，可得𝜌=1或𝜃=𝜋．∴方程表示的图形是一个圆和一条射线．故选：C．极坐标方程(𝜌−1)(𝜃−𝜋)=0(𝜌0)，可得𝜌=1或𝜃=𝜋.即可得出．本题考查了极坐标方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．第5页，共13页12.曲线√2𝜌=4sin(𝑥+𝜋4)与曲线{𝑥=12−√22𝑡𝑦=12+√22𝑡的位置关系是( )A.相交过圆心B.相交C.相切D.相离【答案】B【解析】解：曲线√2𝜌=4sin(𝜃+𝜋4)=2√2(sin𝜃+cos𝜃)，∴𝜌=2(sin𝜃+cos𝜃)，化为直角坐标方程为：𝑥2+𝑦2−2𝑥−2𝑦=0即(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=2，圆心为(1，1)，半径为√2，曲线{𝑥=12−√22𝑡𝑦=12+√22𝑡化为普通方程为直线𝑥+𝑦−1=0，则圆心到直线的距离为|1+1−1|√2=√22√2，故直线与圆相交且不过圆心．故选：B．先应用𝑥=𝜌cos𝜃，𝑦=𝜌sin𝜃，将曲线√2𝜌=4sin(𝜃+𝜋4)化为直角坐标方程，轨迹为圆，再化简曲线{𝑥=12−√22𝑡𝑦=12+√22𝑡为直线𝑥+𝑦−1=0，利用圆心到直线的距离公式，求出距离，判断与半径的关系，从而确定直线与圆的位置关系．本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程，及直线与圆的位置关系，属于基础题．13.直线{𝑥=1+2𝑡𝑦=2+𝑡(𝑡为参数)被圆𝑥2+𝑦2=9截得的弦长为( )A.125B.125√5C.95√5D.95√10【答案】B【解析】解：∵直线{𝑥=1+2𝑡𝑦=2+𝑡(𝑡为参数)∴直线的普通方程为𝑥−2𝑦+3=0圆心到直线的距离为𝑑=3√5𝑙=2√9−95=125√5，故选B．先将直线的参数方程化成普通方程，再根据弦心距与半径构成的直角三角形中求解即可．本题主要考查了直线的参数方程，以及直线和圆的方程的应用，属于基础题．14.直线{𝑥=𝑡cos𝛼𝑦=𝑡sin𝛼(𝑡为参数)与圆{𝑥=4+2cos𝜙𝑦=2sin𝜙(𝜑为参数)相切，则此直线的倾斜角𝛼(𝛼𝜋2)等于( )A.5𝜋6B.3𝜋4C.2𝜋3D.𝜋6【答案】A第6页，共13页【解析】解：直线与圆的普通方程分别是𝑦=tan𝛼⋅𝑥，(𝑥−4)2+𝑦2=4，则圆心为(4，0)，半径为2，由直线与圆相切知，𝑑=丨4tan𝛼−0丨√1+tan2𝛼=2|sin𝛼|=12，因𝜋2𝛼𝜋，∴𝛼=5𝜋6，故选A．将直线方程及圆的参数方程转化成普通方程，利用点到直线的距离公式，即可求得|sin𝛼|=12，由𝜋2𝛼𝜋，即可求得𝛼的值．本题考查圆与直线的参数方程，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于基础题．15.已知平面直角坐标系xoy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为{𝑥=2cos𝜙𝑦=2+2sin𝜙(𝜑为参数).点𝐴，𝐵是曲线C上两点，点𝐴，𝐵的极坐标分别为(𝜌1，𝜋3)，(𝜌2，5𝜋6).则|𝐴𝐵|=( )A.4B.√7C.4√7D.5【答案】A【解析】解：曲线C的参数方程为{𝑥=2cos𝜙𝑦=2+2sin𝜙(𝜑为参数)．普通方程为𝑥2+(𝑦−2)2=4.极坐标方程为𝜌=4sin𝜃，𝜃=𝜋3，𝜌1=2√3，∴𝐴(√3，3)，𝜃=5𝜋6，𝜌2=2，∴𝐵(−√3，1)，∴|𝐴𝐵|=√(2√3)2+22=4，故选A．求出𝐴，𝐵的坐标，利用两点间的距离公式，即可得出结论．本题考查三种方程的转化，考查两点间的距离公式，比较基础．16.已知直线{𝑥=3+4𝑡𝑦=−4+3𝑡，则下列说法错误的是( )A.直线的倾斜角为arctan34B.直线必过点(1，−1