第1章-测度论基础与随机过程

1随机数学第1章测度论基础与随机过程的基本概念教师:陈萍[e-mail]2随机数学涉及4个主要部分:概率论,随机过程,数理统计,随机运筹.本课程在对概率论作适当补充的基础上,着重介绍随机过程的基本概念及主要结论,以备在解决实际问题中的应用.随机过程通常被视为概率论的动态部分,在概率论中研究的随机现象,都是在概率空间上的一个或有限多个随机变量的规律性.但在实际问题中,我们还需要研究一些随机现象的发展和变化过程,即随时间不断变化的随机变量,这就是随机过程所要研究的对象.引言3课程的主要内容1.测度论基础与随机过程的基本概念2.泊松过程与更新过程3.马尔科夫链4.鞅与Brown运动5.随机微分方程4参考书[1]陈萍等编，随机数学，国防工业出版社，2008[2]Berntksendal,StochasticDeferentialEquations,Springer-Verlag,1998[3]冯予等编，概率论与数理统计，国防工业出版社，2005[4]工程数学--积分变换5概率与测度中的基本术语及符号:E--随机试验;--样本空间;ω--样本点;A--集类;1.1测度与可测函数定义1.1.1设F是空间上的集类，称F为-代数（域）（-algebra）,若满足:①∈F;②F∈FFC∈F；③A1,A2,…∈FAi∈F注:如果F是-代数,则F对F上的所有集合运算封闭；且对极限运算封闭.6例1.1.1几个常见的-代数：1）称{,}为最“粗”的-代数，而称()={的所有子集}为最“细”的-代数；2）设A，则{,,A,Ac}是-代数；3）设F1，F2是的子集组成的两个-代数，令F3=F1F2，则F3也为-代数；4）设是实数域Rn，是由Rn上的一切开集生成的-代数，称之为Borel代数，B中的元素称为Borel集.7定义1.1.2设U是由的子集构成的集类.称包含U.的最小-代数,即},lg;{)(HUHUofebraa为由U生成的-代数（the-algebrageneratedbyU.）定义1.1.3设F为空间的子集组成的σ代数，称二元组(,F)为可测空间（measurablespace）;的任一子集F称为F-可测（F-measurable）的,如果F∈F.8定义1.1.4设(,F)为可测空间，μ:FR+，若(1)μ()=0;(2)若A1,A2,…∈F,且{Ai}i≧1两两不交，则11()()iiiiAA特别，当μ()=1时，称μ为概率测度(probabilitymeasure),记为P，并称(,F,P)为概率空间(probabilityspace).此时,称F可测集A为事件，A的测度P(A)称为事件A发生的概率。则称μ为可测空间(,F)上的测度(measure)，且称(,F,μ)为测度空间(measurespace).91）下（上）连续性：设{An,n1}F,若An↓A,则P(An)↓P(A);若An↑A,(n→∞),则P(An)↑P(A);2）加法公式：设{Ai,i=1,…,n}为事件列，则11112...1()(1)(...)kknnnkiiiiikiiiPAPAPAA概率的运算性质补充：10定义1.1.5设(,F)与（E，E）为可测空间,函数X:→E称为F-可测的（F-measurable）,如果对任意UE，F)UXUX)(,()(1随机变量注:(p7th1.1.5-1.1.7)(1)可测函数的函数仍可测;(2)可测函数的单调极限仍可测1()(()),nXBPXBBRB特别，若(,F,P)为概率空间，(E,E)=(Rn,B)，则可测函数X称为n维随机变量（随机变量）;记为由X生成的σ代数;1(){();}.XXBBB称为X的分布.11独立性定义1.1.10设(,F,P)为概率空间，称两事件A，B是独立的（independent）如果)()()(BPAPBAP若A={Hi;i=1,2,..}是由可测集类Hi组成的集族，称A是独立的，如果对任意不同的i1,…,ik)()...()...(11kkiiiiHPHPHHPkkiiiiHHHH,...11称随机变量族{Xi;i=1,2,…}是独立的，如果生成-代数族{(Xi),i=1,2,…}是独立的.12定理1.1.7.设(,F,P)为概率空间,若Ct,t∈T为独立的-类,则(Ct),t∈T为独立的-代数.推论2.设(,F,P)为概率空间,若{Xt,t∈T}为独立的随机变量族,{gt,t∈T}为Borel可测函数族，则{gt(Xt),t∈T}独立.推论1.设(,F,P)为概率空间,若{Ai,i=1,…,m,m+1,…,m+n}为m+n个独立的事件,g,h表示两个事件运算，则g(A1,…,Am)与h(Am+1,…,Am+n)独立.注：称集类C为类，若满足A,BCABC13•在经典概率论中，连续型随机变量X的期望定义为（Riemann积分）：dxxxpXX)(:)(离散型随机变量X的期望定义为§1.2随机变量的期望1kkkEXxp可否给出期望的统一定义？…14Riemann积分:1()()0()AxAxxA•考虑示性函数：•其中A是[0，1]区间的有理数集•若要函数可积，必须上和等于下和-----•连续函数或几乎处处连续的有界函数上和始终为1,下和始终为0…151.对示性函数,关于Lebesgue测度的积分定义为:00()ARxdA2.对于简单函数:1()(),knnkAkhxcx001:()nnkkRkhdcA补充:Lebesgue积分10AxAxxA关于Lebesgue测度的积分定义为:16引理：设f(x)为(R,B(R))上的非负可测函数则存在简单函数序列满足.)()()(0321xhxhxh)()(limxfxhnn其中00:limnRRnfdhd3.非负可测函数f(x)的Lubesgue积分定义为nkkknAc10)(lim引理证明思路…于是17引理证明:•f(x):上的非负可测函数a1,)(:11axfxA11111111()()():()00()AAxAxfxhxxxAaaa（）)(xf=“区间”(如果f(x)连续),()RRΒ18引理证明:a1)(xfa21A122,)(:aaxfxA2A112211112122222()()0()()():()()()()0()AAAAxAxxAfxhxxxxAxxAaaaaaa0)(1xh19引理证明:a11Aa32Aa12A3A3A1233123()()()()()AAAfxhxIxIxIxaaa0)()(12xhxh重复以上过程,总可以构造出简单函数序列hn(x)收敛到f(x).………..证毕！20Lebesgue积分4.对于(R,B(R))上的可测函数f,000:RRRfdfdfd()()()fxfxfx其中()0()0()()0()00()0fxfxfxfxfxfxfxfx于是，当时，定义f(x)的Lubesgue积分为00RRfdorfd21Lebesgue积分的性质:•Lebesgue积分有所有Riemann积分的性质：000()RRRfgdfdgd00,RRcfdcfdc:constant00,RRfdgd如果gf,000dgdfdfBABA如果AB=22定义1.2.1定义在可测空间(,F)上的函数X()称为是简单函数（simple）,如果存在有限个两两互不相容的可测集{F1,...,Fn}以及有限个实数{a1,...,an}满足：1.2.1可测函数的积分niFiniiiiiaFFaX11)(0)(23引理1.2.1设(,F)为可测空间，X为非负可测函数，则1)则存在非负递增简单可测函数列{Xn,n1}，使得积分的定义i)对于(,F,μ)上的简单函数，称X是可积的，如果μ(Fi),i=1,…,n，X的积分定义为niFiiaX1)()(1()()()niiiXdaFlimnnXX24ii)如果X()是非负实值可测函数,{Xn}为非负简单函数列，满足0XnX.则X的积分（integral）定义为limnnXdXdiii)如果X()实值可测函数，则X的积分定义为XdXdXd其中{:()0}()()(),XXX)()()(}0)(:{XXX25注:若X:→Rn,)()1(...nXXX(1)()...nXdXdXd则26定理1.2.1设X为测度空间(,F,μ)到可测空间(R,E）上的可测映射，g为定义在(R,E）上的可测函数，则其中，.这里等号的意义是上式在两端之一有意义时成立.(())()XRgXdgxd1()()(())XAXAXA27若)()(dPX则称[]()()()nXREXXdPxdx为X的期望(w.r.t.P).其中()211,...,',[]nninixxxRXX设X为概率空间(,F,P)上的n维随机变量，1.2.2随机变量的期望28更一般地,若g:Rn→R为Boreal可测函数，(())()gXdP则[()](())()()()nXREgXgXdPgxdxdPXXErr||||*Lr空间(,F,P)上所有r阶矩存在的随机变量组成的集合构成线性空间，称为Lr空间。即X∈Lr,如果E|X|r∞.*记L∞为所有a.s.有界的随机变量组成的集合。*当1≦r∞时，Lr为Banach空间.29设X:R为随机变量，满足E[|X|],(1)若AF且P(A)=0，则AAXdPXE0(2)设Y:R为随机变量满足E[|Y|],且XY,a.s.则E[X]E[Y].期望的性质补充(3)设X:R为随机变量满足E[|X|],且X0a.s.,则E[X]=0当且仅当X=0a.s.;若X0a.s.,则E[X]0.(4)设X:R为随机变量满足E[|X|],则对A,BF且AB=.][BABABAXEXdPXdPXXE30自学P13可测函数列的收敛性P14积分收敛定理P17随机变量的矩及重要不等式31§1.3条件期望1.关于事件B的条件期望定义1.3.1设(,F,P)为概率空间，A，BF，P(B)≠0,称**PB为F上的概率测度即:(,F,PB)为概率空间.为已知事件B的条件下，事件A的条件概率。)()()|()(BPABPBAPAPB32设(,F,P)为概率空间,P(B)0,为随机变量,如果在概率空间(,F,PB)下的期望存在,则称之为关于事件B的条件期望，记作E(|B).BBdPBPdPBE)()(1)()|(注:设=A,则)|()()()|(BAPBPABPBELemma1.3.2332.关于代数C的条件期望构造性定义:设{Bn,n=1,2,...}为的可数分割，C={Bn,n=1,2,...},设为所有期望存在的随机变量组成的集合，称E(|C)=∑[E(