2020高考数学(文)一轮复习-----函数及其表示

第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).突破点一函数的定义域[基本知识]1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数是特殊的映射．()(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．()(3)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．()答案：(1)√(2)√(3)×二、填空题1．函数f(x)＝2x－1＋1x－2的定义域为__________________________________．解析：由题意得2x－1≥0，x－2≠0，解得x≥0且x≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)2．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为____________．解析：∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．答案：{－1,1,3,5,7}3．下列f(x)与g(x)表示同一函数的是________．(1)f(x)＝x2－1与g(x)＝x－1·x＋1；(2)f(x)＝x与g(x)＝x3＋xx2＋1；(3)y＝x与y＝(x)2；(4)f(x)＝x2与g(x)＝3x3.答案：(2)[全析考法]考法一求函数的定义域常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y＝ax(a0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.(6)y＝logax(a0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y＝tanx的定义域为x|x≠kπ＋π2，k∈Z.[例1](1)(2019·合肥八中期中)函数f(x)＝lnx＋31－2x的定义域是()A．(－3,0)B．(－3,0]C．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D．(－∞，－3)∪(－3,0)(2)(2019·东北师大附中摸底)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝fx＋12＋fx－12的定义域是()A.12，1B.12，2C.12，32D.1，32[解析](1)∵f(x)＝lnx＋31－2x，∴要使函数f(x)有意义，需使x＋30，1－2x0，解得－3x0，即函数的定义域为(－3,0)．故选A.(2)由题意得0≤x＋12≤2，0≤x－12≤2，∴－12≤x≤32，12≤x≤52，∴12≤x≤32.故选C.[答案](1)A(2)C[方法技巧]1．根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．2．求抽象函数的定义域的策略(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．3．求函数定义域应注意的问题(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．考法二已知函数的定义域求参数[例2](2019·安阳模拟)若函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是()A．[0,4)B．(0,4)C．[4，＋∞)D．[0,4][解析]由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则m0，m2－4m≤0，解得0m≤4.综上可得0≤m≤4.[答案]D[方法技巧]已知函数的定义域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题．(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．[集训冲关]1.[考法一]函数f(x)＝－x2＋9x＋10－2lnx－1的定义域为()A．[1,10]B．[1,2)∪(2,10]C．(1,10]D．(1,2)∪(2,10]解析：选D要使原函数有意义，则－x2＋9x＋10≥0，x－10，x－1≠1，解得1x≤10且x≠2，所以函数f(x)＝－x2＋9x＋10－2lnx－1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D.2.[考法一]若函数f(x＋1)的定义域是[－1,1]，则函数f(log12x)的定义域为________．解析：∵f(x＋1)的定义域是[－1,1]，∴f(x)的定义域是[0,2]．令0≤log12x≤2，解得14≤x≤1，∴函数f(log12x)的定义域为14，1.答案：14，13.[考法二]已知函数y＝1kx2＋2kx＋3的定义域为R，则实数k的取值范围是________．解析：当k＝0时，y＝13，满足条件；当k≠0时，由k0，4k2－12k0，得0k3.综上，0≤k3.答案：[0,3)突破点二函数的表示法[基本知识]1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项方法注意事项解析法一般情况下，必须注明函数的定义域列表法选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征图象法注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若f(x)满足f1x＝x－1，则f(x)＝1x－1.()(2)若f(x)＝2x＋1，x∈[1,3]，则f(x－1)＝2x－1，x∈[2,4]．()答案：(1)×(2)√二、填空题1．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，依题设得3ax＋3a＋3b＝6x＋4，∴3a＝6，3a＋3b＝4，∴a＝2，b＝－23，则f(x)＝2x－23.答案：2x－232．已知x≠0，函数f(x)满足fx－1x＝x2＋1x2，则f(x)＝________.解析：fx－1x＝x2＋1x2＝x－1x2＋2，所以f(x)＝x2＋2.答案：x2＋23．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.解析：因为f(2x＋1)＝32(2x＋1)＋12，所以f(x)＝32x＋12.又f(a)＝4，所以32a＋12＝4，a＝73.答案：73[典例感悟]1．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)的解析式为________________．解析：由题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，∴a2＝4，ab＋b＝3，解得a＝－2，b＝－3或a＝2，b＝1.故所求解析式为f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.答案：f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋12．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为________________．解析：法一：设t＝x＋1(t≥1)，则x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．答案：f(x)＝x2－1(x≥1)3．已知f(0)＝1，对任意的实数x，y，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)的解析式为________________．解析：令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，∴f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.答案：f(x)＝x2＋x＋1[方法技巧]求函数解析式的3种方法待定系数法当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式换元法如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式解方程组法如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式[针对训练]1．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x解析：选C选项A，f(2x)＝|2x|＝2|x|,2f(x)＝2|x|，故f(2x)＝2f(x)；选项B，f(2x)＝2x－|2x|＝2x－2|x|，2f(x)＝2x－2|x|，故f(2x)＝2f(x)；选项C，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2x＋2，故f(2x)≠2f(x)；选项D，f(2x)＝－2x，2f(x)＝－2x，故f(2x)＝2f(x)．故选C.2．(2019·南阳第一中学模拟)已知f(1－cosx)＝sin2x，则f(x2)的解析式为________________________．解析：因为f(1－cosx)＝sin2x＝1－cos2x，令1－cosx＝t，t∈[0,2]，则cosx＝1－t，所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．则f(x2)＝－x4＋2x2，x∈[－2，2]．答案：f(x2)＝－x4＋2x2，x∈[－2，2]3．已知函数f(x)满足f(x)＝2f1x＋x，则f(x)的解析式为________________．解析：由f(x)＝2f1x＋x，得f1x＝2f(x)＋1x，联立得fx＝2f1x＋x，①f1x＝2fx＋1x，②①＋②×2得f(x)＝x＋4f(x)＋2x，则f(x)＝－23x－13x.答案：f(x)＝－23x－13x突破点三分段函数[基本知识]1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)分段函数是两个或多个函数．()(2)若f(x)＝x，x≥0，－x，x0，f(a)＋f(－1)＝2，则a＝1.()答案：(1)×(2)×二、填空题1．若f(x)＝2x，x0，fx＋2，x≤0，则f(－5)＝________.解析：f(－5)＝f(－5＋2)＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)