解一元一次不等式易错点剖析

1解不等式的错解示例一、不等式的解集在数轴上表示不正确例1.解不等式159104yy，并将不等式的解集表示在数轴上.错解：159104yy，151049yy，55y，1y.不等式的解集表示在数轴上为图1.图1错解分析：将不等式的解集表示在数轴上，一定要记住数轴右边的点表示的数大于左边的点表示的数.“”或“”用空心圆圈，“”或“”用实心圆点.正解：159104yy，55y，1y.不等式的解集表示在数轴上为图2.图2点拨：理解不等式的解集与数轴上的数的对应关系是解题的关键.二、忽视不等式中参数的取值范围例2.已知关于x的不等式a1a1x有解，求a的取值范围和不等式的解集.1010。2错解：根据题意，得a10即a1.不等式的两边同时除以(a1)，得1x.错解分析：错解忽视了不等式中的(a1)可能为正，也可能为负.正解：当10a时，得00x无解，这与已知条件矛盾.当10a即1a时，1x;当10a即1a时，1x.点拨：对于系数中含有参数的不等式，一定要注意讨论系数的正负.三、不等式的性质3应用不当例3.解不等式：214xx.错解：移项，合并同类项，得33x,系数化为1，得1x.错解分析：错因是对不等式的基本性质3理解不透彻.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.正解：移项，合并同类项，得33x,系数化为1，得1x.四、移项时符号出错例4.解不等式：10475xx.错解：10574xx,1511x,1115x,1511x.错解分析：在第一步的移项中，-4x移到不等号的右边应注意变为4x;在第三步3的计算中，-11x与15移项后，不等号不应改变方向.正解：74510xx,315x,5x.点拨：在解这类题时，同学们应牢记不等式的基本性质.五、去分母时，对不含分母的项处理不当例5.解不等式31105126yy.错解：去分母，得3311105yy,去括号，得931105yy,移项，合并同类项，得191y,系数化为1，得119y.错解分析：在去分母时，1漏乘最小公倍数6，产生错误.正解：去分母，得3316105yy,去括号，得936105yy,移项，合并同类项，得194y,系数化为1，得419y.点拨：在做较复杂的题目时，一定要细心，每一步都要认真对应解不等式的法则.六、将a≥b写成b≥a例6.解不等式6＋3x≥4x－2.错解：当解到8≥x时，需将8≥x改写成x在左边的形式，这时容易出现4写成x≥8的错误．纠错空间：因为如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b．所以将8≥x改写的正确结果应是x≤8.七、在数轴上表示不等式的解集时，不能正确使用空心点“○”和实心点“·”例7.(1)例如不等式x＋3＞6的解集是x＞3，说明3不是x＋3＞6的解，所以在数轴上表示x＞3时，应在表示3的点处画空心点“○”，如图(1)．(2)不等式x＋3≥6的解集是x≥3，说明3是不等式x＋3≥6的解，所以在数轴上表示x≥3时，应在表示3的点处画实心点“·”，如图(2)．纠错小结：应该注意和认识到x＞a和x≥a的区别在于a是x≥a的解，而不是x＞a的解，所以要正确使用空心点“○”和实心点“·”．八、忽略隐含条件，考虑问题不全例8．如果关于x的不等式(2a－b)x＋a－5b＞0的解集是x＜107，则关于x的不等式ax＞b的解集是_________．错解：因为不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜107，所以5b－a2a－b＝107，则有2a－b＝7，5b－a＝10，解得a＝5，b＝3．因此ax＞b的解集是x＞35．答案：x＞3501234图（2）5错解分析：本题错因有两个，一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反；二是对含有字母系数的不等式没有根据解集的情况确定字母系数的取值范围，所以在解题时错误得出2a－b＝7，5b－a＝10，解得a＝5，b＝3．从而错误得到ax＞b的解集是x＞35．正解：由不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜107，得2a－b＜0，5b－a2a－b＝107，解得a＜0，ba＝35．所以ax＞b的解集是x＜35．答案：x＜35解不等式易错点示例一、概念类错误例1．已知不等式：①2≤2；②2＜3；③2＞3；④2≤3；⑤3≥3；⑥3≥2，其中成立的有（）A.1个B.4个C.5个D.6个错解：选A.只有②成立，故选A.错解分析：选C.根据不等式的含义，①②④⑤⑥都是成立的，只有③不成立，故选C.例2．下面给出四个式子：①x＞2；②a≠0；③5＜3；④a≥b，其中是不等式的是（）A.①④B.①②④C.①③④D.①②③④错解：选B.只有③5＜3不成立，故选B．错解分析：不等式是指用“＜”，“＞”，“≤”，“≥”或“≠”来表示不等6关系的式子，不受其是否成立的影响．5＜3虽然不成立，但它仍然是不等式，故选D．二、性质类错误例3．命题“若a＜b，c＜d，则ac＜bd”是否成立？错解：成立．因为两个较小数的积一定小于两个较大数的积，例如2＜3，4＜5，则有2×4＜3×5．错解分析：此题的错误在于对概念的理解模糊不清，若a，c为负数，例如-3＜2，-4＜1，显然（-3）×（-4）大于2×1，故该命题不成立．例4．若a＞b，c为有理数，则下列式子中正确的是（）①ac＞bc；②ac＜bc；③ac2＞bc2；④22abcc；⑤cbca.A.④B.③C.①②⑤D.①②④⑤错解：选B．因为c2是正数，所以③正确，故选B．错解分析：本题的条件是a＞b，变形是在不等式的两边同乘（或除以）c或c2，变形正确与否的关键是看c或c2的取值情况．而本题中c为不确定大小的有理数，故很容易判断①②⑤变形错误．因为c2大于等于零，而其在分母中，故只能大于0，所以④正确．故选A．例5．已知am＞bm（m≠0），下面结论中，正确的是（）A.a＞bB.a＜bC.mbmaD.am2＞bm2错解：选D.在不等式a＞b的两边同乘一个正数m2，不等号的方向不变，故选D.错解分析：本题中m的符号不能确定，而A,B两个选项都可以看作是am＞7bm两边同除以m得到的，不等号有可能改变方向，也可能不改变方向，所以这两个答案是错误的，D选项是在am＞bm的两边同乘m，不等号的方向也不能确定，故D选项不对，C选项是在am＞bm的两边同除以m2，而m2＞0，故mbma，C正确.例6.解不等式3x-2＞πx+5.错解：移项且合并同类项，得（3-π）x＞7，两边同除以（3-π），得：x＞73π.错解分析：因为3-π是负数，根据一元一次不等式的性质，不等号应该改变方向，因此答案应为x＜73π.三、解集类错误例7.由于小于6的每一个数都是不等式21x-1＜6的解，所以这个不等式的解集是x＜6.这种说法对不对？错解：这种说法是对的.错解分析：当x=7时，虽然它不小于6，但它仍是不等式21x-1＜6的解，事实上凡是小于14的数都是不等式21x-1＜6的解，故不等式21x-1＜6的解集是x＜14.例8．在数轴上表示x≥-2.错解1：如图.8错解2：如图.错解3：如图.正解：如图.提示：注意实心圆点与空心圆圈的区别、射线的方向、数轴画的是否完整是在数轴上表示解集时易错的三个方面.四、解不等式过程中的错误例9．解不等式2x+3+x2＞x2+x.错解：移项得2x+x2-x-x2＞-3，合并同类项得x＞-3.错解分析：此题的错误在于思考不严密，没有考虑到当x＞-3时，x=0也包含在内，而当x=0时，原不等式无意义，因此正确答案应为x＞-3且x≠0.例10．解不等式5.05.02.0x＜0.3.错解：5.05.02.0x＜0.3即552x＜3，2x-5＜15，故x＜10.错解分析：5.05.02.0x较复杂，可先将分子、分母同乘10，化为552x，然后再按照解不等式的一般步骤来解．上述解法混淆了分式的性质与不等式的性质.9正解：5.05.02.0x＜0.3即552x＜0.3，2x＜6.5，故x＜3.25.例11．解不等式4-3x＜7x.错解：移项，得4＜7x-3x，合并同类项，得4＜4x，两边同除以4，得x＜1.错解分析：解一元一次不等式同解一元一次方程一样，移项时要变号，并且一般来说，含有字母（未知数）的项通常移在不等式的左边，常数项移在不等式的右边，这与一元一次方程中的移项是一样的．本题错在移项的时候没有变号.正解：移项，得-3x-7x＜-4，合并同类项，得-10x＜-4，两边同除以-10，得x＞52.10解一元一次不等式组错解示例一、误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分．例1解不等式组x－1＞0，①x＋2＜0．②错解：由①得x＞1，由②得x＜－2，所以不等式组的解集为－2＜x＜1．错解分析：解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分．此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）．实际上，这两部分没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指“两线重叠”的部分．此外，可能会受到解题顺序的影响，把解集表示成1＜x＜－2或－2＜x＞1等，这些都是错误的．正解：由①得x＞1．由②得x＜－2，所以此不等式组无解．二、误认为“同向解集哪个表示范围大就取哪个”例2解不等式组5x＋12＞6－3x，①4＋x3－5＞2－2(1＋x)3．②错解：解不等式①，得x＞－34．解不等式②，得x＞5．由于x＞－34的范围较大，所以不等式组的解集为x＞－34．错解分析：本例错解中，由于对不等式组的解集理解得不深刻，在根据两个解集的范围确定不等式组的解集时，形成错误的认识．其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的解集时，可归纳为以下四种基本类型（设a＜b），①x＞a，x＞b，②xa,xb,③x＞a，x＜b，④x＜a，x＞b．利用数轴可确定它们的解集分别为①x＞b，②x＜a，③a＜x＜b，④无解．也11可以用下面的口诀来帮助记忆，“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了（无解）”．正解：解不等式①，得x＞－34．解不等式②，得x＞5．所以不等式组的解集为x＞5．三、混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法．例3解不等式组x2－2(x＋3)≤11，①3x2＋2(x＋3)≤3．②错解：由①＋②，得2x≤14，即x≤7，所以不等式组的解集为x≤7．错解分析：本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法混淆，误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中．产生此类错误的根本原因是没有正确区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不同点:（1）解二元一次方程组时，两个方程不是单独存在的.（2）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即每一个不等式的解集都求出来后，再利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集．正解：由不等式①，得32x≥－17，即x≥－343．由不等式②，得72x≤－3，即x≤－67．所以原不等式组的解集为－343≤x≤－67．12四、在去分母时，漏乘常数项．例4解不等式组2x－3＜1，①x－12＋2≥－x．②错解：由①，得x＜2．在x12－＋2≥－x的两边同乘2，得x－1＋2≥－2x．于是有x≥－13，所以原不等式组的解集为2＞x≥－13．错解分析：本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，在去分母时漏乘了中间的一项．此外，还要注意在表示“大小小大中间找”这类不等式组的解集时应按一般顺序，把小的那个数放在前面，大的那个数放在后面，用“＜”或“≤”连接．正解：由①，得x＜2．在x－12＋2≥－x