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相似三角形的判定1．相似三角形相等比相等(1)定义：对应角______，对应边的________的两个三角形相似．(2)表示方法：若△ABC和△A′B′C′相似，记作“__________________”，读作“______________________”，其中，符号“______”读作“相似于”．(3)相似比：相似三角形对应边的______．△ABC∽A′B′C′△ABC相似于A′B′C′∽比注意：用“∽”这个符号表示两个图形相似时，应把对应顶点的字母写在对应的位置上．如图27-2-1表示△ABC与△DEF相似，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角是∠E，∠C的对应是∠F，即△ABC∽△DEF，而不能写成△ABC∽△EFD.图27-2-12．平行线分线段成比例(1)定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段________．成比例(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段__________．成比例3．平行线判定三角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________．相似其基本图形有以下两种，如图27-2-2(A型和Y型)：图27-2-2用符号语言表示为：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.4．判定一般三角形相似的方法三边成比例(1)___________的两个三角形相似．夹角相等(2)____________且____________的两个三角形相似．(3)________________的两个三角形相似．注意：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．两边成比例两角分别相等5．判定特殊三角形相似的方法(1)判定直角三角形相似的方法：①一个锐角对应相等．②两直角边对应成比例．③斜边和一组直角边对应成比例．(2)判定等腰三角形相似的方法：①顶角相等．②一对底角相等．③底和腰对应成比例．知识点1平行线分线段成比例定理和推论【例1】如图27-2-3，点F是ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF与AD的延长线交于点E.图27-2-3求证：DEAE＝DFDC.思路点拨：结合平行四边形的性质及平行线分线段成比例定理和推论即可求证．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC.∴DEAE＝EFEB(平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段的比相等)．同理，可得EFEB＝DFDC.∴DEAE＝DFDC.比．而找中间比的常见方法就是通过找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式．本题是证明等比式的典型题．要证明ab＝cd，经常要把它转化为两个等式：ab＝ef和ef＝cd.我们通常把ef叫做中间【跟踪训练】1．如图27-2-4，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，图27-2-4AC相交于点D，E，若AD＝4，BD＝2，则DEBC＝_____.23知识点2判定三角形相似的方法【例2】如图27-2-5，D，E，F分别是△ABC三边的中点，求证：△ABC∽△EFD.图27-2-5思路点拨：由“三角形的中位线定理”得三边的关系，即可得证．证明：∵D是AB的中点，F是AC的中点，∴DF＝12BC，即DFBC＝12.同理，DEAC＝12，EFAB＝12.∴DFBC＝DEAC＝EFAB.∴△EFD∽△ABC.【例3】如图27-2-6所示，已知∠A＝∠D，AD与BC相交于点P，AB＝8，CD＝14，AD＝20，求线段AP的长．图27-2-6思路点拨：由题意，可证得AB∥CD，从而△ABP∽△DCP，由相似三角形对应边成比例及DP＝AD－AP即可求得AP的长．解：∵∠A＝∠D，∴AB∥CD.∴△ABP∽△DCP.∴APDP＝ABDC.∵AB＝8，CD＝14，AD＝20，∴AP20－AP＝814.∴AP＝8011.本题中，根据分式性质可得出ADAB＝AEAC⇔ADBD＝AECE⇔BDAB＝CEAC.即平行线分线段后，所得相应位置线段的比值是相等的．【跟踪训练】2．如图27-2-7，在△ABC中，DE∥BC，AD＝EC，DB＝1cm，AE＝4cm，BC＝5cm，求DE的长．图27-2-7解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴ADAB＝AEAC＝DEBC.又AD＝EC，∴ADAD＋1＝4AD＋4.∴AD＝2cm.∴23＝DE5.∴DE＝103cm.3．如图27-2-8，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BM⊥CE，AB＝6，求BM的长．图27-2-8解：由正方形的性质，得BC＝AD＝AB＝6，∠D＝BCD＝90°.由同角的余角相等，得∠DEC＝∠MCE.又BM⊥CE，∴∠BMC＝90°.即∠BMC＝∠CDE.∴△BMC∽△CDE.∴BMCD＝BCCE.BM3＝662＋32，解得BM＝655.知识点3相似三角形的判定和性质与其他知识的综合运用【例4】如图27-2-9，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3，如果边AB上的点P使得P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，求AP的长．图27-2-9思路点拨：因为∠A＝∠B＝90°，点P是AB边上的动点，则以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似的有两种可能性：(1)当APAD＝BCBP时，△APD∽△BCP；(2)当APAD＝BPBC时，△APD∽△BOC，由比例式建立关于AP的方程，从而可求得AP的值．解：设AP＝x，则BP＝7－x.(1)当△APD∽△BCP时，则APAD＝BCBP，即x2＝37－x，解得x＝1或x＝6，符合条件．(2)当△APD∽△BPC时，则APAD＝BPBC，即x2＝7－x3，解得x＝145，符合条件．∴AP的长是1或6或145.运用相似三角形对应边成比例建立方程可求线段的长，求线段长的关键是找准对应顶点，对应边．本题中∠A＝∠B＝90°，构成的两直角三角形相似有两种可能，本题的易错点是：只考虑了这两种情况中的一种对应情况．【跟踪训练】4．如图27-2-10，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点(点P不与点A，B重合)．连接AP，BP.(1)填空：∠APC＝________度，∠BPC＝________度；(2)求证：△ACM∽△PMB.图27-2-10AB解：(1)6060(2)由“同弧所对的圆周角相等”，得∠ABP＝∠ACP，∠BPC＝∠BAC，∴△ACM∽△PMB.