第34讲-函数问题

第34讲函数问题函数问题是中考重点内容，也是中考必考题型，主要考查函数的图象和性质及函数的应用，而函数与几何知识的综合应用是难点，一般通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系．常涉及数形结合思想、方程思想及建模思想．第34讲┃函数问题┃考向互动探究┃探究一函数的图象与性质综合例1[2013·烟台]如图34－1是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴是x＝－1，且过点(－3，0)，下列说法：①abc0；②2a－b＝0；③4a＋2b＋c0；④若(－5，y1)，(52，y2)是抛物线上两点，则y1y2，其中说法正确的是()图34－1A．①②B．②③C．①②④D．②③④第34讲┃函数问题【例题分层探究】(1)根据函数图象，试判断abc的符号；(2)根据二次函数的对称轴为x＝－1，试判断2a－b的符号；(3)当x＝2时，函数y＝ax2＋bx＋c的值大于0？等于0？还是小于0?(4)若(－5，y1)，(52，y2)是抛物线上两点，y1y2吗？为什么？第34讲┃函数问题(1)根据抛物线开口向上，可知a0，由抛物线与y轴交于负半轴可知c0，由对称轴x＝－b2a＝－10，可知b0，故abc0.(2)根据对称轴x＝－b2a＝－1可知b＝2a，所以2a－b＝0.(3)根据二次函数的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为(1，0)，且当x－1时，函数值y随x的增大而增大，故当x＝2时，y＝4a＋2b＋c0.(4)利用二次函数的对称性，(－5，y1)关于对称轴x＝－1的对称点为(3，y)，当x－1时，函数值y随x的增大而增大，由523，得y1y2.第34讲┃函数问题【解题方法点析】解决此类问题的思路是：读题――→数形结合观察图象(抛物线的开口方向、对称轴，图象与坐标轴的交点，两函数图象的交点，增减性等)―→理解数据与图象的关系―→解决问题．第34讲┃函数问题[解析]∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0.∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0.∵二次函数图象的对称轴是直线x＝－1，∴－b2a＝－1，∴b＝2a＞0，∴abc＜0，2a－b＝0，∴①和②都正确；∵图象是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为x＝－1，且过点(－3，0)，∴与x轴的另一个交点的坐标是(1，0)，∵当x－1时，y随x的增大而增大，∴把x＝2代入y＝ax2＋bx＋c得y＝4a＋2b＋c＞0，∴③错误；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，∴点(－5，y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3，y1)，根据当x＞－1时，y随x的增大而增大，523，∴y2＜y1，∴④正确．故答案选C.第34讲┃函数问题[答案]C变式题[2013·达州]已知反比例函数y＝k13x的图象与一次函数y＝k2x＋m的图象交于A(－1，a)，B13，－3两点，连接AO.(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)设点C在y轴上，且与点A，O构成等腰三角形，请直接写出点C的坐标．第34讲┃函数问题第34讲┃函数问题解：(1)∵y＝k13x的图象过点13，－3，∴k1＝3xy＝3×13×(－3)＝－3.∴反比例函数的关系式为y＝－1x.∴a＝－1－1＝1，∴A(－1，1)．∴－k2＋m＝1，13k2＋m＝－3，解得k2＝－3，m＝－2.∴一次函数的关系式为y＝－3x－2.(2)C(0，2)或(0，－2)或(0，1)或(0，2)．探究二函数在实际生活中的应用例2[2013·临沂]某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x(单位：台)102030y(单位：万元/台)605550(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求该机器的生产数量；(3)市场调查发现，这种机器每月销售量z(台)与售价a(万元/台)之间满足如图34－3所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润(注：利润＝售价－成本)．第34讲┃函数问题【例题分层探究】(1)读题、读表格―→量与量之间的关系―→列出函数关系式；(2)读题、读图―→找出售价与利润的关系―→列出函数关系式．第34讲┃函数问题【解题方法点析】用函数解决实际问题一般先分析问题，确定函数关系，然后利用待定系数法求函数关系式，再利用函数关系式或函数的性质解决实际问题．在实际问题中利用一次函数或二次函数的递增(或递减)性进行最优化设计方案时确定自变量的取值范围是关键．第34讲┃函数问题解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，根据题意，得10k＋b＝60，20k＋b＝55，解得k＝－12，b＝65.∴y与x之间的函数关系式为y＝－12x＋65(10≤x≤70)．第34讲┃函数问题(2)设该机器的生产数量为x台，根据题意，得x(－12x＋65)＝2000，解得x1＝50，x2＝80.∵10≤x≤70，∴x＝50.答：该机器的生产数量为50台．(3)设销售数量z与售价a之间的函数关系式为z＝k1a＋b1，根据题意，得75k1＋b1＝15，55k1＋b1＝35，解得k1＝－1，b1＝90.∴z＝－a＋90.当z＝25时，a＝65.则该厂第一个月销售这种机器的利润为25×(65－200050)＝625(万元)．第34讲┃函数问题探究三函数与几何综合例3[2013·绵阳]如图34－4，已知矩形OABC中，OA＝2，AB＝4，双曲线y＝kx(k＞0)与矩形两边AB，BC分别交于E，F.(1)若E是AB的中点，求F点的坐标；(2)若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值．第34讲┃函数问题【例题分层探究】(1)点E的坐标是________，F点的横坐标是________，E、F两点在反比例函数图象上，如何根据点E的坐标求出点F的坐标？(2)要证明△EGD∽△DCF，已知哪些条件，还需要哪些条件？第34讲┃函数问题略【解题方法点析】对于与几何图形相结合的函数问题，除了运用函数的知识外，几何知识的运用(如：勾股定理、相似形、全等形、四边形等)也是不容忽视的！,第34讲┃函数问题第34讲┃函数问题解：(1)∵四边形OABC为矩形，AB＝OC＝4，点E是AB的中点，∴AE＝2，OA＝2，∴E(2，2)．∵点E(2，2)在双曲线y＝kx上，∴k＝2×2＝4.∵点F在直线BC及双曲线y＝4x上，∴设点F的坐标为(4，f)，则f＝44＝1，∴点F的坐标为(4，1)．第34讲┃函数问题(2)由折叠的性质可得：BE＝DE，BF＝DF，∠B＝∠EDF＝90°.∵∠CDF＋∠EDG＝90°，∠GED＋∠EDG＝90°，∴∠CDF＝∠GED，又∵∠EGD＝∠DCF＝90°，∴△EGD∽△DCF.结合图形可设点E坐标为(k2，2)，点F坐标为(4，k4)，则CF＝k4，BF＝DF＝2－k4，ED＝BE＝AB－AE＝4－k2，在Rt△CDF中，CD＝DF2－CF2＝（2－k4）2－（k4）2＝4－k.∵CDGE＝DFED，即4－k2＝2－k44－k2，∴4－k＝1，解得k＝3.┃考题实战演练┃1．[2013·德州]下列函数中，当x0时，y随x的增大而增大的是()A．y＝－x＋1B．y＝x2－1C．y＝1xD．y＝－x2＋1第34讲┃函数问题B第34讲┃函数问题[解析]A．函数y＝－x＋1，当x0时，y随x的增大而减小；B.函数y＝x2－1，当x0(对称轴y轴右侧)时，y随x的增大而增大；C.函数y＝1x，当x0(第一象限)时，双曲线一分支y随x的增大而减小；D.抛物线y＝－x2＋1，当x0(对称轴y轴右侧)时，y随x的增大而减小．2．[2013·巴中]在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是()第34讲┃函数问题C第34讲┃函数问题[解析]因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．故选C.3．[2013·泰安]在同一坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是()第34讲┃函数问题C第34讲┃函数问题[解析]x＝0时，两个函数的函数值y＝b，所以两个函数图象与y轴相交于同一点，故B，D选项错误；由A，C选项可知，抛物线开口向上，所以a＞0，所以一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、三象限，所以A选项错误，C选项正确．故选C.4．[2013·白银]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图34－8所示，在下列五个结论中：①2a－b＜0；②abc＜0；③a＋b＋c＜0；④a－b＋c＞0；⑤4a＋2b＋c＞0，错误的个数有()A．1B．2C．3D．4第34讲┃函数问题C第34讲┃函数问题[解析]①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴x＝－b2a－1，所以2a－b0，①正确；②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0；②正确；③当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，③正确；④当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，④错误；⑤当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＜0，⑤错误；所以错误的有3个．故选C.5．[2013·广州]一次函数y＝(m＋2)x＋1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．第34讲┃函数问题m－2[解析]由题意得m＋2＞0，解这个不等式，得m－2.6．[2013·德州]函数y＝1x与y＝x－2的图象的交点的横坐标分别为a，b，则1a＋1b的值为________．第34讲┃函数问题－2[解析]∵函数y＝1x与y＝x－2的图象相交，∴1x＝x－2，解得x1＝1＋2，x2＝1－2，由于交点的横坐标分别为a，b，∴ab＝(1＋2)(1－2)＝－1，a＋b＝1＋2＋1－2＝2.∴1a＋1b＝a＋bab.故填－2.7．[2013·衢州]某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树，橘子总个数最多．第34讲┃函数问题10第34讲┃函数问题[解析]根据题意，设多种x棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量y与x之间的关系式，进而求出x＝－b2a时，y最大．假设果园增种x棵橘子树，那么果园共有(x＋100)棵橘子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子，∴这时平均每棵树就会少结5x个橘子，则平均每棵树结(600－5x)个橘子．∵果园橘子的总产量为y，∴则y＝(x＋100)(600－5x)＝－5x2＋100x＋60000，∴当x＝－b2a＝－1002×（－5）＝10(棵)时，橘子总个数最多．8．[2013·永州]如图34－9，两个反比例函数y＝4x和y＝2x在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_______．第34讲┃函数问题1第34讲┃函数问题[解析]根据反比例函数中k的几何意义，得△POA和△BOA的面积分别为2和1，于是△POB的面积为1.9．[2013·重庆]如图34－10，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P(1，1)，C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则