2020年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2017年北京，理1，5分】若集合–21{|}Axx，–1{|}3Bxxx或，则AB=（）（A）1|}–2{xx（B）3|}–2{xx（C）1|}–1{xx（D）3|}1{xx【答案】A【解析】21ABxx，故选A．（2）【2017年北京，理2，5分】若复数1iia在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）（A）,1（B）,1（C）1,（D）1,【答案】B【解析】1ii11izaaa，因为对应的点在第二象限，所以1010aa，解得：1a，故选B．（3）【2017年北京，理3，5分】执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）（A）2（B）32（C）53（D）85【答案】C【解析】0k时，03成立，第一次进入循环111,21ks，13成立，第二次进入循环，2132,22ks，23成立，第三次进入循环31523,332ks，33否，输出53s，故选C．（4）【2017年北京，理4，5分】若x，y满足32xxyyx，，，则2xy的最大值为（）（A）1（B）3（C）5（D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域，2zxy表示斜率为12的一组平行线，当过点3,3C时，目标函数取得最大值max3239z，故选D．（5）【2017年北京，理5，5分】已知函数1()3()3xxfx，则()fx（）（A）是奇函数，且在R上是增函数（B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数（D）是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】113333xxxxfxfx，所以函数是奇函数，并且3x是增函数，13x是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数故选A．（6）【2017年北京，理6，5分】设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“0mn”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0，使mn，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800mnmnmn，反过来，若0mn，那么两向量的夹角为0090,180，KS5U并不一定反向，即不一定存在负数，使得mn，所以是充分不必要条件，故选A．（7）【2017年北京，理7，5分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）（A）32（B）23（C）22（D）2【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图，红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，22222223l，故选B．（8）【2017年北京，理8，5分】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为8010．则下列各数中与MN最接近的是（）（参考数据：30.48lg）（A）3310（B）5310（C）7310（D）9310【答案】D【解析】设36180310MxN，两边取对数，36136180803lglglg3lg10361lg38093.2810x，所以93.2810x，即MN最接近9310，故选D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。（9）【2017年北京，理9，5分】若双曲线221yxm的离心率为3，则实数m．【答案】2【解析】1321mm．（10）【2017年北京，理10，5分】若等差数列na和等比数列nb满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则22ab=．【答案】1【解析】322131383,211(2)adqdqb．（11）【2017年北京，理11，5分】在极坐标系中，点A在圆22cos4sin40上，点P的坐标为1,0，则AP的最小值为______．【答案】1【解析】2222:2440(1)(2)1Cxyxyxy，所以min||||211APACr．（12）【2017年北京，理12，5分】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若1sin3，cos()=．【答案】79【解析】2227sinsin,coscoscos()coscossinsincossin2sin19．（13）【2017年北京，理13，5分】能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_______．【答案】-1，-2，-3【解析】123,1(2)3．（14）【2017年北京，理14，5分】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________．②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________．【答案】1Q；2.p．【解析】作图可得11AB中点纵坐标比22AB，33AB中点纵坐标大，所以第一位选1Q，分别作1B，2B，3B关于原点的对称点1B，2B，3B，比较直线11AB，22AB，33AB斜率，可得22AB最大，所以选2p．三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）【2017年北京，理15，13分】在ABC中，60A，37ca．（1）求sinC的值；（2）若7a，求ABC的面积．解：（1）37ca，由正弦定理得：33333sinsin77214CA．（2）37caa，60CA，C为锐角，由33sin14C得：13cos14C，又337377ca，1sin2ABCSacB143732763．（16）【2017年北京，理16，14分】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，//PD平面MAC，6PAPD，4AB．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角BPDA的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．解：（1）取AC、BD交点为N，连结MN．∵PD∥面MAC，PD面PBD面PBD∩面MACMN，∴PDMN∥，在PBD△中，N为BD中点，∴M为PB中点．（2）解法一：取AD中点为O，BC中点为E，连结OP，OE，∵PAPD，∴POAD，又面PAD面ABCD，面PAD∩面ABCDAD，∴PO面ABCD，以OD为x轴，OE为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标，可知200D，，，200A，，，240B，，，002P，，，易知面PD的法向量为010m，，，且202PD，，，242PB，，，设面PBD的法向量为nxyz，，，2202420xzxyz，112n，，222211cos21112mn，由图可知二面角的平面角为锐角，∴二面角BPDA大小为60．解法二：过点A作AHPD，交PD于点E，连结BE，∵BA平面PAD，∴PDBA，∴PD平面BAH，∴PDBH，∴AEB即为二面角BPDA的平面角，ADPOAEPD，可求得433AE，4tan343AEB，∴60AEB．（3）解法一：点2122M，，，240C，，，∴2322MC，，，由（2）题面BDP的一个法向量112n，，，设MC与平面BDP所成角为，∴22232126sincos91941122MCn，（）．解法二：GNFPHMBCDA记ACBDF，取AB中点N，连结MN，FN，MF，取FN中点G，连MG，易证点G是FN中点，∴MGPO∥，∵平面PAD平面ABCD，POAD，∴PO平面ABCD，∴MG平面ABCD．连结GC，13GC，1222MGPO，∴362MC．∵6PD，42BD，22PB，由余弦定理知3cos3PDB，∴6sin3PDB，∴1sin422PDBSPDDBPDB△．设点C到平面PDB的距离为h，13PDBCPDBVSh△，又13PDBCCPDBBCDVVSPO△，求得2h，记直线MC与平面BDP所成角为，∴226sin9362hMC．（17）【2017年北京，理17，13分】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机KS5U．选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1．7的人数，求的分布列和数学期望E；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）解：（1）50名服药者中指标y的值小于60的人有15人，故随机抽取1人，此人指标y的值小于60概率为1535010．（2）的可能取值为：0，1，2，2224106CPC，11222442163CCPC，2224126CPC012121()0121636E．（3）从图中服药者和未服药者指标y数据的离散程度观察可知，服药者的方差大。（18）【2017年北京，理18，14分】已知抛物线2:2Cypx过点1,1P．过点10,2作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．解：（1）由抛物线22ypx过点(1,1)，代入原方程得21=21p，所以12p，原方程为2yx．由此得抛物线焦点为1,04，准线方程为14x．（2）解法一：∵⊥BMx轴，设112211,,,,,，，ABMxyNxyAxyBxy，根据题意显然有10x，若要证A为BM中点，只需证2ABMyyy即可，左右同除1x有1112ABMyyyxxx，即只需证明2OAOBOMkkk成立．其中1,OAOPOBONkkkk，当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN斜率存在且不为零．设直线102：MNykxk，联立212ykxyx有221104kxkx，考虑22114124kkk，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以12k．由韦达定理可知：1221kxxk……①，12214xxk……②将①②代入上式，有21212212222121224kxxkkkkkxxk即22ONOMOBOMOAkkkkk，所以2ABMyyy恒成立，∴A为BM中点，得证．解法二：当直线MN斜率不存在