基础随机变量及其分布知识点

随机变量及其分布一、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X可能取的值为12,,,,,inxxxx，X取每一个值(1,2,,)ixin的概率()iiPXxp，则称以下表格Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：（1）0,1,2,,iPin≥（2）121nppp常见的两种分布：1．两点分布如果随机变量X的分布列为X01P1-pp则称X服从两点分布，并称=P(X=1)p为成功概率.2．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件Xk发生的概率为：(),0,1,2,3,...,knkMNMnNCCPXkkmC则随机变量X的概率分布列如下：X01…mP00nMNMnNCCC11nMNMnNCCC…mnmMNMnNCCC*min,,,,,,mMnnNMNnMNN其中且。注：超几何分布的模型是不放回抽样二、条件概率一般地，设A,B为两个事件,且()0PA,称()(|)()PABPBAPA为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.0(|)1PBA≤≤三、相互独立事件设A，B两个事件，如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即()()()PABPAPB),则称事件A与事件B相互独立。()()()ABPABPAPB即、相互独立一般地，如果事件A1,A2,…,An两两相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()nnPAAAPAPAPA.注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、n次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.在n次独立重复试验中，记iA是“第i次试验的结果”，显然，1212()()()()nnPAAAPAPAPA“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注:独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.五、二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则()(1)0,1,2,,kknknPXkCppkn，X01…k…nP00nnCpq111nnCpq…kknknCpq…0nnnCpq此时称随机变量X服从二项分布，记作~(,)XBnp，并称p为成功概率.六、离散随机变量的均值（数学期望）一般地，随机变量X的概率分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称1122()iinnEXxpxpxpxp为X的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.1．若YaXb，其中a，b为常数，则Y也是变量Y1axb2axb…iaxb…naxbPp1p2…pi…pn则()EYaEXb，即()()EaXbaEXb2．一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么()=10(1)EXppp即若X服从两点分布，则()EXp3．若~(,)XBnp，则()EXnp七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn2221122(())(())(())..nnDXxEXpxEXpxEXpXDXX则称为随机变量的方差并称为随机变量的标准差1．若X服从两点分布，则()(1)DXpp2．若~(,)XBnp，则()(1)DXnpp3．2()()DaXbaDX八、正态分布1.正态分布一般记为N(μ，σ2)．μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差2．结合正态曲线，归纳其以下性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．(2)曲线关于直线x＝μ对称．(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．(4)当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．(5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”，总体分布越集中；3．3σ原则：对于正态总体),(2N取值的概率：68.3%2σx95.4%4σx99.7%6σx练习：1.正态分布有两个参数与，()相应的正态曲线的形状越扁平。A．越大B．越小C．越大D．越小2．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布)36,100(，那么考试成绩在区间112,88内的概率是A．0．6826B．0．3174C．0．9544D．0．99743．若x～N(0,1),求P(x2).P(x-1)．