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利用几何模型证三点共线把一个实际问题抽象为用数学符号表示的数学问题，称为数学建模，该数学问题称为原问题的数学模型，平面几何中的几何概念、图形的性质、几何公理、定理等都可以视为几何模型，利用几何模型可以顺利解决几何中的一些难题，下面介绍用几何模型证三点共线的几种方法，供参考．一、邻补角模型如图1，要证明A、B、C三点共线，可选择一条过点B的直线PBQ，并连结AB、CB，证明∠ABP与∠CBP互为邻补角，即∠ABP＋∠CBP＝180°．例1如图2，在△4BC中，延长二中线BD、CE到点F、G，使DF＝BD，EG＝CE，求证G、A、F三点共线，分析要证明G、A、F三点共线，可证明∠FAC＋∠BAC＋∠GAB＝180°．由于BD＝DF，AD＝CD，连结CF，则四边形ABCF为平行四边形，AF∥BC，∠FAC＝∠ACB．同理∠GAB＝∠ABC．∴∠FAC＋∠BAC＋∠GAB＝∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180°证明连结CF．二、对顶角模型如图3，如果A、B、C三点共线，过点B作一直线MN，则对顶角∠MBA＝∠CBN．（有时MN并不存在，需根据情况适当添加辅助线）．例2如图4，AB、CD分别是两圆⊙O1与⊙O2的内公切线，切点分别为A、B、C、D，两切线交于P点，求证：O1、O2、P三点共线．分析要证明O1、O2、P三点共线，可连结O1P和O2P，证∠O1PC＝∠O2PD或∠O1PA＝∠O2PB即可．三、平行线模型如图5，要证明A、B、C三点共线，先证AB//DE，再证BC//DE．例3如图6，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，CD⊥AD，D为垂足，AE是∠BAC的外角∠CAK的平分线，CE⊥AE，E为垂足，求证：M、D、E三点共线．分析要证D、E、M三点共线，AD为∠BAC的平分线，CD⊥AD，可证D是CH的中点，M为BC的中点，所以DM∥AB，同理DE∥AB，所以D、E、M三点共线，证明∵AD为∠BAC的平分线，CD⊥AD．∴CD＝DH．∵M为BC的中点，∴DM∥AB，同理可证DE∥AB，∴M、D、E三点共线，四、垂线模型如图7，要证明A、B、C三点共线，可证明过点A的直线AC⊥MN，AB⊥MN．例4如图8，PQ、MN分别切⊙O于A、B两点，PQ∥MN，求证：A、O、B三点共线，分析要证A、O、B三点共线，可证OA⊥PQ，OB⊥MN，再证OA⊥MN即可．证明∵PQ、MN分别切⊙O于A、B两点，∴OA⊥PQ，OB⊥MN．∵PQ//MN，∴OA⊥MN．又∵OB⊥MN，∴A、O、B三点共线．五、直线模型证明第三点在过另两点的直线上．例5如图9，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，公切线切两圆于C、D两点，M为CD的中点，求证：A、B、M三点共线．分析可连结AB并延长交CD于M'，再利用切割线定理证明M'与M重合，则M在AB的延长线上，即A、B、M三点共线．证明连结BA，并延长交CD于M'．∵CD是⊙O1与⊙O2的公切线，∴CM'2＝AM'·BM'．M'D2＝AM'·BM'．∴CM'＝DM'．即M'是CD的中点，∵M是CD的中点，∴M'与M重合，即M在BA延长线上，∴A、B、M三点共线．六、角平分线模型利用同角平分线的唯一性证三点共线，例6如图10，AB、CD是⊙O1与⊙O2的两条外公切线，A、B、C、D是切点，AB、CD的延长线交于P点，求证：O1、O2、P三点共线．分析要证明O1、O2、P三点共线，连结O1P、O2P，先证O1P是∠APC的平分线，再证O2P也是∠APC的平分线．证明∵PA、PC是O1的两条外公切线，又P为⊙O1外一点，∴O1P平分∠APC，即O1P是∠APC的平分线．同理可证O2P是∠BPD的平分线．∵∠APC与∠BPD是同一个角，∴O1、O2、P三点共线．用数学模型解题，能有效沟通相关问题的情境，促进解题过程中知识、方法的正向迁移，打破思维定势，化陌生为熟悉，化非常规为常规；有助于培养学生提出、发现、解决问题的能力，有助于发展学生的创新意识和实践能力，进而提高思维能力．