2019年高考试题——数学文(北京卷)解析版

绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合A={x|–1x2}，B={x|x1}，则A∪B=A.（–1，1）B.（1，2）C.（–1，+∞）D.（1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵{|12},{|1}AxxBx，∴(1,)AB，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.2.已知复数z=2+i，则zzA.3B.5C.3D.5【答案】D【解析】【分析】题先求得z，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】∵z2i,zz(2i)(2i)5故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..3.下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A.12yxB.y=2xC.12logyxD.1yx【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可..【详解】函数122,logxyyx，1yx在区间(0,)上单调递减，函数12yx在区间(0,)上单调递增，故选A.【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.4.执行如图所示的程序框图，输出的s值为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.【详解】运行第一次，=1k，2212312s，运行第二次，2k，2222322s，运行第三次，3k，2222322s，结束循环，输出=2s，故选B.【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.5.已知双曲线2221xya（a＞0）的离心率是5则a=A.6B.4C.2D.12【答案】D【解析】【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.【详解】∵双曲线的离心率5cea，21ca，∴215aa，解得12a，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据定义域为R的函数()fx为偶函数等价于()=()fxfx进行判断.【详解】0b时，()cossincosfxxbxx,()fx为偶函数；()fx为偶函数时，()=()fxfx对任意的x恒成立，()cos()sin()cossinfxxbxxbxcossincossinxbxxbx，得0bsinx对任意的x恒成立，从而0b.从而“0b”是“()fx为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lgEmmE，其中星等为m1的星的亮度为E2（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10–10.1【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于12,EE的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg2EmmE,令211.45,26.7mm,10.111212222lg(1.4526.7)10.1,1055EEmmEE.故选：A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.8.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ【答案】B【解析】【分析】由题意首先确定面积最大时点P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值.【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S的最大值为2222S△POB+S△POA=4β+1||sin()2OPOB‖1||sin()2OPOA‖42sin2sin44sin.故选：B.【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.已知向量a=（－4，3），b=（6，m），且ab，则m=__________.【答案】8.【解析】【分析】利用ab转化得到0ab加以计算，得到m.【详解】向量4,36,abmab（），（），，则•046308abmm，，.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10.若x，y满足2,1,4310,xyxy则yx的最小值为__________，最大值为__________.【答案】(1).3.(2).1.【解析】【分析】作出可行域，移动目标函数表示的直线，利用图解法求解.【详解】作出可行域如图阴影部分所示.设z=y-x,则y=x+z.当直线l0：y=x+z经过点A（2,-1）时,z取最小值-3，经过点B（2,3）时,z取最大值1.【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.11.设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.【点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.12.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.【解析】【分析】本题首先根据三视图,还原得到几何体,根据题目给定的数据,计算几何体的体积.属于中等题.【详解】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPDANQCB之后余下的几何体,几何体的体积3142424402V.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．13.已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.【解析】【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.正确；（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.不正确，有可能m在平面α内；（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．【答案】(1).130.(2).15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x的最大值.【详解】(1)10x,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付608010130元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,120y元时,李明得到的金额为80%y,符合要求.120y元时,有80%70%yxy恒成立,即87,8yyxyx,即min158yx元.所以x的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.在△ABC中，a=3，–2bc，cosB=12．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．【答案】（Ⅰ）75bc；（Ⅱ）3314.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值；(Ⅱ)由题意结合余弦定理、同角三角函数基本关系和诱导公式可得sinBC的值.【详解】（Ⅰ）由余弦定理可得2221cos22acbBac，因为3a，所以22390cbc；因为2bc，所以解得75bc.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3,7,5abc，所以22213cos214bcaAbc；因为A为ABC的内角，所以2co33sin1s14AA.因为33sin()sin()sin14BCAA.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，同角三角函数基本关系、诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．【答案】（Ⅰ）212nan；（Ⅱ）当5n或者6n时，nS取到最小值30.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得na的通项公式；(Ⅱ)首先求得nS的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.【详解】（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，因为234+10+8+6aaa，，成等比数列，所以2324(+8)(+10)(+6)aaa，即2(22)(34)ddd，解得2d，所以102(1)212nann.（Ⅱ）由（Ⅰ）知212nan,所以22102121112111()224nnSnnnn；当5n或者6n时，nS取到最小值30.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，