抽样定理简介

物联网技术基础知识系列——抽样定理简介Dr.SHEN连续信号的抽样定理问题1采样(抽样)：将连续信号转换为离散信号，便于采用数字系统进行处理.连续信号被取样后，是否保留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从取样的信号还原出原始信号？模拟信号数字信号A/DD/A问题2只知道连续函数等间隔的样本点，能否通过内插完全恢复出原函数，实现函数重建。函数插值重建采样信号方法1：最小二乘法、卡尔曼滤波？……方法2：应用傅里叶变换来分析和解决上述问题，即通过分析采样信号的频谱来回答该问题。0、抽样过程1、抽样过程2、时域抽样定理及其推导3、频域抽样定理4、带通信号抽样定理5、思考问题6、附录材料本节主要内容)1()1()1()1()1()1()1(0)(tTTT2T3T2T3Tt0ss()ss2s2s()s()s()s()s()s()()()()sTnssnsttnTn冲激串的频谱回忆学过的知识：•卷积定理•冲激串性质•冲激串的频谱12121212()()()()1()()()()2ftftFFftftFF卷积定理：1.抽样过程抽样器)(tfs()ft称为理想抽样()()TssnttnT()()()sTsftftt抽样脉冲序列为周期冲激序列时，相乘卷积sssT时域抽样频域周期重复2.抽样定理的推导信号恢复)(tfs0t)(tf0t理想低通滤波器h(t)()sft()ftsT1)(sFss0mm()Hj0sTcc()Fj01mmmcsm在频率fmHz以上没有频率分量的连续时间带限信号f(t)，由它在均匀间隔上的抽样值唯一地决定，只要其抽样时间间隔Ts。1()2msf时域抽样定理tfs(t)f(t)0T2T-T历史：CLAUDEELWOODSHANNON,HARRYNYQUIST大致时间事件备注1765年拉格朗日（1736-1813）用常数和正余弦来对函数插值进行逼近。1807年傅里叶（1768-1830）在《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并指出了任意周期函数都可以用三角基来表示的想法。1840年代TDM时分复用在电报通信中被首次提出，但距抽样定理的理论形成还有距离。1915年Whittaker（数学家）第一个对所有带限信号的抽样定理做了阐述，从这点上来看应该是抽样定理的先驱。1928年Nyquist发表了著名的《电报信号无失真传输理论》，首次提出在一根模拟传输线上传输信号时，当抽样率大于一定值后，可以近乎无失真地还原信号。1933年Kotelnikov（科捷利尼科夫）第一个证明了低通信号和带通信号的抽样定理。1939年H.Raabe在博士论文中阐述了抽样定理，后被Bennet引用1948年Shanno（香农）引用了Bennet论文，并总结，从而被广泛接受。同期的Someya（日本人）在《信号传输》中阐述了抽样定理，所有也叫Someya抽样定理。4.带通信号的抽样定理负频谱－fH－fLM()正频谱fHfLT()O－fsOfs正，－2fs负，－fs－fs－fL正，－fs负，fsOMs()－fL－fH－fs＋fL正，零正，fs负，2fsf(a)(b)(c)ff负，零fLfHfs－fLfs＋fL带通信号的抽样：需要保证采样信号频谱不发生混叠。第n-1次移位第n次移位即得到：1-22nffnfLsH带通连续信号抽样定理1、混叠误差与截断误差)j(F10T1)j(sFmssm0......)j(sFT1mssm0......)j(1Fmm105.思考和复习抽样定理给出了连续信号离散化的理论依据。遵循抽样定理，一个连续时间信号就可以由其样本值来表征。1.带限于m；2.；3.可取c＝s/2将抽样定理进一步分解，则要将连续时间信号离散化必须满足三个条件：mcsm2sm2、三个条件总结:sT1)(sFss0mm()Hj0sTcc3、例题已知实信号f(t)的最高频率为fm(Hz)，试计算对各信号f(2t)，f(t)f(2t)，f(t)f(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。对信号f(2t)抽样时，最小抽样频率为4fm(Hz)；对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为2fm(Hz)；对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为6fm(Hz)。解：根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得：4、思考：谢谢！同时感谢相关资料未名提供者，互联网等。附录1.周期脉冲抽样)()()(tPtftfsTs冲激函数序列在实际中无法取得，实际中，采用周期脉冲抽样，其抽样结果为2()()2ssTsnsnPtSanT下面分析中是否包含的全部信息()sft()ft1[()]()()2ssTftftPtFFF122()()[()]2sssSnnftSFTnajF()*2()ssnsnSajnTF[()]2sssnFnSTjna附录2.实验最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘如果被抽样的函数为，抽样函数可表示为梳状函数是函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分布在平面上在，两方向上间距为和的函数与该函数的乘积任何函数与函数相乘的结果仍然是函数，只是函数的“大小”要被该函数在函数位置上的函数值所调制。换句话说，每个函数下的体积正比于该点函数的数值yxg,yxgs,yxgYycombXxcombyxgs,,yx,xyXY附录3.高维抽样定理抽样函数抽样函数的频谱利用卷积定理和梳状函数的傅里叶变换，可计算抽样函数的频谱nmyxnmyxyxYmfXnfGYmfXnfYfcombXfXYcombYycombXxcomb,f,fG,f,fGf,fGf,fGyxyxyxyxsF抽样函数的原函数的复原图奈奎斯特（NYQUIST）抽样间隔假如函数是限带函数，即它的频谱仅在频率平面上一个有限区域内不为零若包围该区域的最小矩形在和方向上的宽度分别为和欲使图中周期性复现的函数频谱不会相互混叠，必须使或者说抽样间隔必须满足式中表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特（Nyquist）抽样间隔),(yxgxfyfxByBx2BX1y2BY1x2BXy2BY原函数频谱的复原要原函数的复原首先要恢复其频谱在满足奈奎斯特抽样间隔的情况下，只要用宽度和,位于原点的矩形函数去乘抽样函数的频谱就可得到原来函数的频谱。在频率域进行的这种操作去掉了部分频谱成份，常常称作“滤波”用频域中宽度和的位于原点的矩形函数为滤波过程可写作xByBxByByyxxBfrectBfrect22f,fHyxyxyxsf,fG22f,fGyyxxBfrectBfrect原函数的复原(1)做反变换就可直接得到原函数根据卷积定理，在空间域得到对上式左边两个因子分别进行化简有结果得到无数函数与SINC函数的卷积和yxgyxhyxgs,,,mYynXxmYnXgXYyxgYycombXxcombyxgnms,,,,yBcxBcBBBfrectBfrectyxhyxyxyyxx2sin2sin422,F原函数的复原(2)最后卷积的结果,愿函数为若取最大允许的抽样间隔，即，并且，则可见用SINC函数做为插值函数可以准确恢复原函数(当然要满足必要的条件)mYyBcnX-xBcmYnXgXYBByxgyxnmyxsinsin,,x2BXy2BYyyxnmyxBmyBBBmBngyx22sinc2Bn-x2sinc2,2,gx