函数与导数大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练

专题03函数与导数大题部分【训练目标】1、理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法；2、掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题；3、掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式；4、掌握指数函数和对数函数的图像与性质；5、掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系；6、熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用；7、熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题；8、理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取值范围；9、会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。【温馨小提示】本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。【名校试题荟萃】1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数.,Rnm（1）若函数xf在2,2f处的切线与直线0yx平行，求实数n的值；（2）试讨论函数xf在区间,1上最大值；（3）若1n时，函数xf恰有两个零点，求证：221xx【答案】（1）6n（2）1lnmn（3）见解析【解析】（1）由，，由于函数()fx在(2,(2))f处的切线与直线0xy平行，故214n，解得6n。（2），由0fx时，xn；0fx时，xn，所以①当1n时，fx在1,上单调递减，故fx在1,上的最大值为；②当1n时，fx在1,n上单调递增，在,n上单调递减，故fx在1,上的最大值为；又211xtx，ln0t，故122xx成立。2、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设函数（Ⅰ）讨论函数fx的单调性；（Ⅱ）若fxb有两个不相等的实数根12,xx，求证【答案】（1）当0a时，()fx在(0,)上单调递增；当0a时，()fx在(0,)a上单调递减，在(,)a上单调递增.（2）略【解析】（I）当0a时，()0fx恒成立，所以()fx在(0,)上单调递增.当0a时，解()0fx得,xa解()0fx得0.xa所以()fx在(0,)a上单调递减，在(,)a上单调递增.综上，当0a时，()fx在(0,)上单调递增.当0a时，()fx在(0,)a上单调递减，在(,)a上单调递增.而令所以()gx在(1,)单调递增.3、（山东省新泰二中2019届高三上学期12月月考数学（理）试卷）已知函数fx,（1）讨论函数fx的单调性;（2）当0a时,函数gx在(0,)是否存在零点?如果存在，求出；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）不存在零点【解析】（Ⅰ）函数的定义域为,=（2）0a时，方程有两解或①当时，∴时，0)('xf，)(xf在、上单调递减.)1,2(ax时，0)('xf，)(xf单调递增.②当时，令，得或(i)当时,时恒成立,上单调递增;（ⅱ）当时,∴时，0)('xf，)(xf在、上单调递增.x时，0)('xf，)(xf单调递减。（ⅲ）当时，∴x时，0)('xf，)(xf在、上单调递增.x时，0)('xf，)(xf单调递减.综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时,上单调递增；当时,的单调递增区间为，单调递减区间为；当时的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）可知当时，的单调递增区间为，单调递减区间为,在处取得极大值也是最大值。等价于，，令得，所以，所以先增后减，在处取最大值0，所以．所以进而,所以即,。又所以函数在不存在零点．4、（山东省新泰二中2019届高三上学期12月月考数学（理）试卷）设,（1）若xf在，32上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当20a时，xf在4,1上的最小值为316，求xf在该区间上的最大值.【答案】（1）当a＞－19时，xf在，32上存在单调递增区间；（2）103【解析】（1），由题意得，0'xf在，32上能成立，只要即032'f，即29＋2a＞0，得a＞－19，所以，当a＞－19时，xf在，32上存在单调递增区间.（2）已知0＜a＜2，xf在[1，4]上取到最小值－163，而的图象开口向下，且对称轴x＝12，∵f′（1）＝－1＋1＋2a＝2a＞0，f′（4）＝－16＋4＋2a＝2a－12＜0，则必有一点x0∈[1，4]，使得f′（x0）＝0，此时函数f（x）在[1，x0]上单调递增，在[x0，4]上单调递减，∵f（1）＝－13＋12＋2a＝16＋2a＞0，∴minxff（4）＝－13×64＋12×16＋8a＝－403＋8a＝－163⇒a＝1.此时，由⇒20x或－1（舍去），所以函数f（x）max＝f（2）＝103.5、（辽宁省辽河油田第二高级中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题）已知函数ln1xfxx．（1）确定函数fx在定义域上的单调性；（2）若exfxk在1,上恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）fx在0,1上单调递增，在1,上单调递减；（2）1ek（2）由exfxk在1,上恒成立得：lne1xxkx在1,上恒成立．整理得：在1,上恒成立．令，易知，当0k时，0hx在1,上恒成立不可能，∴0k，又，'11ehk，（i）当1ek时，，又在1,上单调递减，∴'0hx在1,上恒成立，则hx在1,上单调递减，又10h，∴0hx在1,上恒成立．又10h，∴'0hx在01,x上恒成立，∴0hx在1,上恒成立不可能．综上所述，1ek．6、（湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2019届高三12月联考数学（理）试题）已知函数.（Ⅰ）当0a时，求)(xf在区间]1,0(的最大值；（Ⅱ）若函数有两个极值点,求证.【答案】（1）当10a时，)(xf的最大值为12a，当1a时，)(xf的最大值为（2）略【解析】（Ⅰ）由已知得)(xf的定义域为),0(,，当10a时,11a，)(xf在]1,0(上单调递增,)(xf的最大值为.当1a时,)(xf在)1,0(a上单调递增,在)11(，a单调递减，)(xf的最大值为.综上，当10a时，)(xf的最大值为12a，当1a时，)(xf的最大值为.设,其中,由得at2,由于，∴)(th在)2,0(a上单调递增,在)1,2(aa上单调递减,即)(th的最大值为，从而成立.7、（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三12月月考数学（理）试题）已知，(0)a.（1）当1,0ax时，求证：；（2）若存在00x，使得成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）设，，由()0Fx故()Fx增且，所以，在上递增，所以（2）即0，，则，，所以在上单调递增，（ⅰ）当时，在上为单调递增函数，故，所以：当时，恒成立，不合题意综上所述：8、（河北省承德市第一中学2019届高三上学期第三次月考数学（文）试题）已知函数f（x）＝x2－2lnx.（1）求f（x）的单调区间；（2）若在x∈（0,1]内恒成立，求t的取值范围．【答案】（1）函数f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1）（2）（－∞，1]【解析】（1）函数的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝2x－2x＝x＋x－x，由f′（x）0，得x1，由f′（x）0，得0x1，所以，函数f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1）．（2）由f（x）≥2tx－1x2对x∈（0,1]恒成立，得2t≤x＋1x3－2lnxx令h（x）＝x＋1x3－2lnxx，则h′（x）＝x4－2x2－3＋2x2lnxx4，∵x∈（0,1]，∴x4－30，－2x20,2x2lnx0，x40，∴h′（x）0，∴h（x）在（0,1）上为减函数．∴当x＝1时，h（x）＝x＋1x3－2lnxx有最小值2，得2t≤2，∴t≤1，故t的取值范围是（－∞，1]．9、（吉林省汪清县第六中学2019届高三上学期第二次月考数学（文）试题）已知函数，函数．（1）求函数ygx的单调区间；（2）若不等式在1,上恒成立，求实数a的取值范围；【答案】（1）增区间10,a，减区间1,a（2）0a（2），即在1,上恒成立，设，考虑到10F，，在1,上为增函数，∵1x，11e0xx，∴当0a时，0Fx，Fx在1,上为增函数，0Fx恒成立当0a时，10F，'Fx在1,上为增函数，，在01,x上，0Fx，Fx递减，0Fx，这时不合题意，综上所述，0a；10、（2019·兰州调研）设函数f（x）＝x－2x－alnx－1x2，a∈R.（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，记f（x）的最小值为g（a），证明：g（a）1.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）解f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1＋2x2－a1x＋2x3＝x2＋2x2－ax2＋2x3＝（x2＋2）（x－a）x3，当a≤0时，f′（x）0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a0时，当x∈（0，a），f′（x）0，f（x）单调递减；当x∈（a，＋∞），f′（x）0，f（x）单调递增.综上，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增.（2）证明由（1）知，f（x）min＝f（a）＝a－2a－alna－1a2＝a－alna－1a，即g（a）＝a－alna－1a.要证g（a）1，即证a－alna－1a1，即证：lna＋1a＋1a2－10，令h（a）＝lna＋1a＋1a2－1，则只需证h（a）＝lna＋1a＋1a2－10，h′（a）＝1a－1a2－2a3＝a2－a－2a3＝（a－2）（a＋1）a3.当a∈（0，2）时，h′（a）0，h（a）单调递减；当a∈（2，＋∞）时，h′（a）0，h（a）单调递增；所以h（a）min＝h（2）＝ln2＋12＋14－1＝ln2－140，所以h（a）0，即g（a）1.11、（贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学（文）试题）设函数。（1）若2x是)(xf的极值点，求a的值。（2）已知函数，若)(xg在区间（0,1）内有零点，求a的取值范围。【答案】（1）2a（2）（-1,）①当1a时，)1,0(x0)('xg恒成立，)(xg单调递减，又因此函数)(xg在区间)1,0(内没有零点。②当10a时，单调递增时，)1,(ax单调递减又，因此要使函数)(xg在区间)1,0(内有零点，必有0)1(g，所以解得1a，舍去③当0a时，)1,0(x，0)(''xg，)(xg单调递减又，因此要使函数)(xg在区间)1,0(内有零点，必有0)1(g，解得1a满足条件综上可得，a的取值范围是（-1,）.12、（辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学（理）试题）已知．（Ⅰ）当ae时，求()fx的极值；（Ⅱ）若()fx有2个不同零点，求a的取值范围.【答案】（1），；（2）(0,)(,0)x，()0fx，()fx为减函数,(0,)x，(