高中三角函数常见题型与解法

高中三角函数常见题型与解法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2三角函数的题型和方法一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=2－2等。（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=22basin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=ab确定。（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan2的有理式。2、证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4、解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。2、三角变换的一般思维与常用方法。注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如22122)()(．也要注意题目中所给的各角之间的关系。注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。3熟悉常数“1”的各种三角代换：6sin24tan0cos2sinseccostanseccossin12222等。注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为2tan的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁。熟悉公式的各种变形及公式的范围，如sinα=tanα·cosα，2cos2cos12，2tansincos1等。利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如2sin2cos12，22cos2sinsin1，22cos2sinsin1等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化。3、几个重要的三角变换：sinαcosα可凑倍角公式；1±cosα可用升次公式；1±sinα可化为2cos1，再用升次公式；sincossin22baba（其中abtan）这一公式应用广泛，熟练掌握。4、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx的图像都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．5、三角函数的图像的掌握体现在：把握图像的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图。6、三角函数的奇偶性结论：①函数y=sin(x＋φ)是奇函数kZk。②函数y=sin(x＋φ)是偶函数Zkk2。③函数y=cos(x＋φ)是奇函数Zkk2。④函数y=cos(x＋φ)是偶函数Zkk。7、三角函数的单调性三、典型例题与方法4题型一三角函数的概念及同角关系式此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取。1、三角函数的六边形法则。2、几个常用关系式：（1），三式知一求二。（2）21sin1sin2。（3）当0,2x时，有sintanxxx。3、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）。4、。5、熟记关系式sincoscos444xxx；cossin44xx。【例1】记cos(80)k,那么tan100（）A、21kkB、﹣21kkC、21kkD、﹣21kk解：222sin801cos801cos(80)1k,tan100tan802sin801.cos80kk。故选B评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用。同时熟练掌握三角函数在各象限的符号。【例2】cos300（）A、32B、-12C、12D、32解：1cos300cos36060cos602评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识。练习：1、sin585°的值为（）A、22B、22C、32D、322、下列关系式中正确的是（）5A、000sin11cos10sin168B、000sin168sin11cos10C、000sin11sin168cos10D、000sin168cos10sin113、若4sin,tan05，则cos．4、“2()6kkZ”是“1cos22”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件5、cos2sin5,tan()若则A、12B、2C、12D、2题型二化简求值这类题主要考查三角函数的变换。解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值。【例3】已知为第三象限的角，3cos25,则tan(2)4。解：为第三象限的角k2232k24k234k(ZK)又3cos250,4sin25,sin24tan2cos23tan(2)441tantan2134471tantan2143.评注：本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。是一道综合性较强的题目。【例4】已知2tan，求（1）sincossincos；（2）22cos2cos.sinsin的值。解：（1）2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos；(2)222222cossincos2cossinsincos2cossinsin6324122221cossin2cossincossin2222评注：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。练习：1、已知tan2，则22sinsincos2cosA、43B、54C、34D、452、函数()sincosfxxx最小值是（）A、-1B、12C、12D、13、“1sin2”是“1cos22”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件题型三函数的图像及其性质图像变换是三角函数的考察的重要内容，解决此类问题的关键是理解A、的意义，特别是的判定，以及伸缩变换对的影响。【例5】为了得到函数sin(2)3yx的图像，只需把函数sin(2)6yx的图像（）A、向左平移4个长度单位B、向右平移4个长度单位C向左平移2个长度单位D向右平移2个长度单位解：sin(2)6yx=sin2()12x，sin(2)3yx=sin2()6x，将sin(2)6yx的图像向右平移4个长度单位得到sin(2)3yx的图像，故选B.评注：本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数sin()yAx中的对函数图像变化的影响是历年考生的易错点，也是考试的重点。7【例6】设0,函数y=sin(x+3)+2的图像向右平移34个单位后与原图像重合，则的最小值是（）A、23B、43C、32D、3解：将y=sin(x+3)+2的图像向右平移34个单位后为4sin[()]233yx4sin()233x43=2k,即32k又0，k≥1故32k≥32，所以选C评注：本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对三角函数图像知识灵活掌握的程度。【例7】函数()(13tan)cosfxxx的最小正周期为（）A、2B、32C、D、2【答案】A【解析】由()(13tan)coscos3sin2sin()6fxxxxxx可得最小正周期为2,【例8】函数22cossin2yxx的最小值是_____________________。【答案】12【解析】()cos2sin212sin(2)14fxxxx，所以最小值为：12【例9】若函数()(13tan)cosfxxx，02x，则()fx的最大值为（）A、1B、2C、31D、32【答案】B【解析】因为()(13tan)cosfxxx=cos3sinxx=2cos()3x当3x是，函数取得最大值为2。故选B。练习：1、将函数sinyx的图像向左平移(0＜2)的单位后，得到函数sin()6yx的图像，则等于（）8A、6B、56C、76D、1162、若将函数)0)(4tan(xy的图像向右平移6个单位长度后，与函数)6tan(xy的图像重合，则的最小值为（）A、61B、41C、31D、213、将函数sin2yx的图像向左平移4个单位，再向上平移1个单位,所得图像的函数解析式是()A、cos2yxB、22cosyxC、)42sin(1xyD、22sinyx4、已知函数)0,)(4sin()(wRxwxxf的最小正周期为，)(xfy的图像向左平移||个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是（）A、2B、83C、4D、85、已知函数()sin()(,0)4fxxxR的最小正周期为，为了得到函数()cosgxx的图像，只要将()yfx的图像（）A、向左平移8个单位长度B、向右平移8个单位长度C、向左平移4个单位长度D、向右平移4个单位长度6、已知a是实数，则函数()1sinfxaax的图像不可能．．．是()7、已知函数()fx=Acos(x)的图象如图所示，2()23f，则(0)f=（）A、23B、23C、－12D、1298、函数sin()yAx（,,A为常数，0,0A）在闭区间[,0]上的图像如图所示，则=.9、已知函数y=sin（x+）（0,-）的图像如图所示，则=________________10、已知函数()2sin()fxx的图像如图所示，则712f。11、已知函数()sin()(0)fxx的图像如图所示，则＝12、已知函数()3sincos(0)fxxx