高等数学学习笔记

《代数学》辅导纲要第一章代数运算与自然数主要内容：1、集合与映射的概念2、映射及其运算3、代数系统4、自然数及其他相关定义5、归纳法原理与反归纳法的运用重点掌握1、由A→B的单映射σ的定义为：设2121,,,:aaAaAaBA若由，就推出)()21aa（，则称为从A到B的单映射。2、由A→B的满映射σ的定义为：设BranBA)(,:若，则称为从A到B的满映射。3、给出一个由整数集合Z到自然数集合N的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象4、若集合|A|=n，则集合A→A的映射共有nn种。5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。6、自然数a与b加法的定义中两个条件为①：'1aa②：)'('baba.7、自然数a与b相乘的定义中两个条件为:①：aa1;②：ababa'8、自然数ab的定义为:如果给定的两个自然数a与b存在一个数k,使得a=b+k，则称a大于b,b小于a,记为ab或ba.9、皮阿罗公理中的归纳公式为:具有下面性质的自然数的任何集合M若满足：(1))2(;1M如果a属于M,则它后面的数a’也属于M.则集合M含有一切自然数，即M=N.10、在整数集合中求两个数的最大公因数是代数运算。11、若|A|=m，|B|=n，则A→B的所有不同映射的个数为mn。12、若A是有限集合，则A→A的不同映射个数为：||||AA。13、从整数集合Z到自然数集合N存在一个单映射。14、若A是有限集合，则不存在A到其真子集合的单映射。15、若A为无限集合，则存在A的真子集合B使其与A等价。16、存在从自然数集合N到整数集合Z的一个满映射，但不是单映射。可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与n)1(有关的映射17、存在从自然数N到整数集合Z的双射。可考虑分段映射18、代数系统(R,)与代数系统(R,+)是同构的，其中R表示正实数集合，R表示实数集合，与+就是通常的实数乘法与加法。根据同构定义，只需找到一个从(R,)到(R,+)的一一映射，例如lgx就可以证明上述论述。19、令Q为正有理数集合，若规定2baba，abba则：（1）{Q,}构成代数体系，但不满足结合律。（2）{Q,}不构成代数体系，但满足结合律。根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。20、若在实数集合中规定ba=a+b-a×b，其中+与×是通常的加法与乘法，则满足结合律。只需证明等式（ba）c=)(cba成立21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n个数的算术平均值大于等于这n个数的几何平均值。归纳法根据定义易证，在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,n2都成立，假设命题对n=k成立，令,...21kaaaSkk1...1211kaaaSkk，利用12111...kkkaaaS证之成立第二章不等式主要内容：1、一些初等不等式的证明2、几个著名不等式：柯西不等式、赫勒德尔不等式、明可夫斯基不等式的证明3、均值不等式、柯西不等式等常用不等式的应用4、凸函数的性质与应用重点掌握：1、nnnaaanaaa2121等号成立的条件为：naaa...212、柯西不等式))(()(121221nininiibaba等号成立的条件为：nnbababa...22113、f(x)为上凸函数的定义为：对任意的21,xx有:)()()(22112211xfqxfqxqxqf,其中1,0,02121qqqq，则称f(x)为上凸函数。4、f(x)=3..0x（x0），g(x)=sinx（0x），k(x)=㏑x中，上凸函数为：f(x)=3..0x，g(x)=sinx,k(x)=㏑（x）5、f(x)=kx（其中x0），则当0k1时，f(x)为下凸函数。6、y=lgx则y是上凸函数.7、函数xxfsin)(1（其中0x）和1f=㏑x为上凸函数，1f=kx（其中0x，k1）为下凸函数。8、)sin(sin21)(21sin2121xxxx9、不等式（naaa21）（11a+21a+……na1）2n，其中ia0，i=1，2，……n成立。可利用柯西不等式))(()(121221nininiibaba证之成立10、若abc0且a+b+c=1，则2abc存在极大值，为272；若已知a×b×c=1，则2a+b+4c存在极小值，为6。利用均值不等式（算术平均值大于等于几何平均值）可算得2abc极大值为272，2a+b+4c的极小值为6.11、若x0,y0,z0且满足92x+122y+52z=9,则3x+6y+5z存在极大值，为9。利用柯西不等式))(()(121221nininiibaba易知3x+6y+5z的极大值为9，其中5,5,3,32,1,3332211bzabyabxa。12、若x0,y0,z0且满足32x+2y+2z=15，则2x+3y+4z存在极大值，为：395。利用柯西不等式))(()(121221nininiibaba易知2x+3y+4z的极大值为395，其中4,,3,,32,3332211bzabyabxa。13、若x0,y0,z0且满足32x+42y+52z=20，则9x+16y+7z存在极大值，为：1412。利用柯西不等式))(()(121221nininiibaba易知9x+16y+7z的极大值为1412，其中57,5,8,2,33,3332211bzabyabxa。14、若x0,y0,z0。且满足22x+32y+42z=10，则5x+6y+7z存在极大值，为：3027。利用柯西不等式))(()(121221nininiibaba易知5x+6y+7z的极大值为3027，其中27,2,32,3,25,2332211bzabyabxa。15、若x0,y0,z0。且满足2x+22y+32z=15，则2x+3y+4z存在极大值，为：2415。利用柯西不等式))(()(121221nininiibaba易知2x+3y+4z的极大值为2415，其中34,3,23,2,2,332211bzabyabxa。16、若x0,y0,z0，且满足22x+32y+42z=10，则3x+4y+5z存在极大值，为6965。利用柯西不等式))(()(121221nininiibaba易知3x+4y+5z的极大值为6965，其中25,2,34,3,23,2332211bzabyabxa。17、不等式11a+22a+…+nnannaaa...2121成立，其中1+2+…+n=10i,0ia,i=1,2…n。可令xxflg)(，则易知)(xf为上凸函数，利用上凸函数的定义可知上面不等式成立。18、若0k1,则有nikiiknnxqxqxqxq12211)...(其中nqqq...21=1,且0iq，,0ixi=1,2,…n。可令kxxf)(，易证)(xf在为上凸函数，利用上凸函数的定义可知上面不等式成立。19、半径为R的圆内接n边形中，以正n边形的面积最大。设其内接n边形的面积为S,n边形各边所对应的圆心角为n,...,,21，则)sin...sin(sin21212nRS，再根据sinx在),0(上是上凸函数可知上面论述成立。第三章多项式与环主要内容：1、不可约因式与素因式的概念2、因式分解唯一环的概念及实例3、多项式的代数定义与分析定义4、对称多项式5、基本定理证明6、一元三次方程与一元四次方程的根7、多项式的零点估计8、重因式与结式9、施斗姆定理重点掌握：1、举出一个交换环的例子：如剩余类环5Z。2、环的理想定义为：如果R是一个整环，RN，为R的子环，若对任意的,,NaRr均有Nar，则称N为R的理想。3、剩余类环12Z中可逆元素为:____11,7,5,1。4、剩余类环12Z中非可逆元素为:______8,6,4,3,2,0__10,9。5、8Z中的可逆元素为:____7,5,3,1。6、在剩余类环8Z中不可逆的元素为:,0____6,4,2。7、整环中因式分解不是唯一的例子是:例如：在整环ZbZabaR,|3中，)31)(31(224。8、在二阶方阵环（实数域上）中找出两个零因子，如：1000,0001。9、剩余类环12Z中的真零因子有____6,4,3,2。10、素元素的定义为:设R为整环，若ppRp,,也不是可逆元素。若由bap|就可推出ap|或bp|，这时我们称p为素元素。11、不可约元素的定义为：设R为整环，ccRc,,也不是可逆元素，且若bac就可推出a是可逆元素或者b是可逆元素，这时我们称c是不可约元素。12、整数环Z上的代数元与超越元分别举出二例：例如1，2是Z上的代数元，,e是Z上的超越元。13、π为有理数域上的超越元。14、2是有理数域上的代数元。15、Z[x]（Z是整数环）是因式分解唯一环。16、在整环R={a+b3|a∈Z，b∈Z}中2是不可约元素。因为在R中，)31)(31(2217、有理系数n次多项式在有理数域内最多有n个根。18、在环R={a+b3|aZbZ}中，2是不可约元素，但不是素元素，且R是整环。根据定义以及反例：)31)(31(22可知2是不可约元素，但不是素元素。19、若数域F含有无穷多个元素，则域F上的两个多项式f(x)与g(x)相等的代数定义与分析定义是一致的。从代数观点出发推得其相对应系数也应该相等，即从函数论观点得证；反之，若从函数论观点出发，将两函数相减所得为一个次数不超过这两个函数次数n的多项式，因此它至多在F内有n个根，由已知数域F含有无穷多个元素，f(x)-g(x)有无限多个根，与前面至多在F内有n个根矛盾，因此f(x)-g(x)的系数必须全为0，因此其相对应系数都相等。20、若数域F只有P个元素，则从分析观点出发F上的多项式只有有限个。域F上的任意一个多项式都是F上的函数，如果能证明F上的不同函数最多有有限个即可。设f(x)为F上的函数，},...,,{21paaaF，这时)(1af就有p种选择,)(2af也有p种选择，…，)(paf也有p种选择。所以F上的不同函数共有pp个，为有限个。21、在}2,1,0{3Z中，存在一个多项式f(x)使得f(1)=0，f(2)=0。例如（2x）(_1x)22、在剩余类环12Z中，（2x）(3x)=0的根为____11,6,3,2。将12Z中的元素分别带入上述方程式，使得方程式成立的即为上述方程的根。23、在8Z中,012x共有四个根：____7,5,3,1。将8Z中的元素分别带入上述方程式，使得方程式成立的即为上述方程的根。24、在剩余类环16Z中012x的根为：____15,9,7,1。将16Z中的元素分别带入上述方程式，使得方程式成立的即为上述方程的根。25、若环R={mk2|m∈Z，k∈Z}，则R是整环，且R中的所有可逆元素和不可约元素分别为：n2和pn2，其中p为奇素数。根据定义易证R是整环，R中的所有可逆元素和不可约元素分别为：n2和pn2，其中p为奇素数。26、整数环是主理想环。根据定义易证上面叙述成立。27、存在这样的一个整环：在这个环中因式分解不是唯一的，且可以找出一个是不可约元素而不是素元素的元素。在环R={a+b3|aZbZ}中，2是不可约元素，但不是素元素28、若R是因式分解唯一环，则下面两式成立：（1）、((a,b),c)~(a,(b,c))（2）、(ab,ac)~a(b,c)根据相伴的定义易证第四章排列与组合主要内容：1、