搜索
这位小男孩的精神，是多么令人感动！他就是快要死了，也不忘自己卖报的诚信，他的灵魂是那么地高尚，那么地伟大！1.3.3二项式定理习题课教学目标知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程复习巩顾前面我们学习了二项式定理，请回顾：1．(a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的______________，其中Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：____________________.(2)性质2：______________________.(3)二项式系数的最大值________________________．(4)二项式系数之和____________________，所用方法是____________________．答案：1．(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N)、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1、Crn、变量前的常数2．(1)Cmn＝Cn－mn(2)Crn＋1＝Cr－1n＋Crn(3)当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即Cn2n最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即Cn－12n＝Cn＋12n最大(4)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n赋值法典型示例这位小男孩的精神，是多么令人感动！他就是快要死了，也不忘自己卖报的诚信，他的灵魂是那么地高尚，那么地伟大！2类型一：二项展开式的有关概念例1试求：(1)(x3－2x2)5的展开式中x5的系数；(2)(2x2－1x)6的展开式中的常数项；(3)在(3x＋32)100的展开式中，系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解：(1)Tr＋1＝Cr5(x3)5－r(－2x2)r＝(－2)rCr5x15－5r，依题意15－5r＝5，解得r＝2.故(－2)2C25＝40为所求x5的系数．(2)Tr＋1＝Cr6(2x2)6－r(－1x)r＝(－1)r·26－r·Cr6x12－3r，依题意12－3r＝0，解得r＝4.故(－1)4·22C26＝60为所求的常数项．(3)Tr＋1＝Cr100(3x)100－r(32)r＝Cr100·350－r2·2r3x100－r，要使x的系数为有理数，指数50－r2与r3都必须是整数，因此r应是6的倍数，即r＝6k(k∈Z)，又0≤6k≤100，解得0≤k≤1623(k∈Z)，∴x的系数为有理数的项共有17项．点评：求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．【巩固练习】试求：(1)(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数；(2)(|x|＋1|x|－2)3的展开式中的常数项．解：(1)∵(x＋2)10＝x10＋20x9＋180x8＋…，∴(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数是－1＋180＝179.(2)∵(|x|＋1|x|－2)3＝(|x|－1|x|)6，∴所求展开式中的常数项是－C36＝－20.类型二：二项展开式的有关应用——简单应用例2求(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中x2的系数．解：∵(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5＝－－[－－5}1－[－－＝－＋－6x，∴所求展开式中x2的系数就是(x－1)6的展开式中x3的系数－C36＝－20.点评：这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查学生对知识的把握程度．这位小男孩的精神，是多么令人感动！他就是快要死了，也不忘自己卖报的诚信，他的灵魂是那么地高尚，那么地伟大！3【巩固练习】(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中x3项的系数是()A．74B．121C．－74D．－121解析：先求和：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8＝－5[1－－4]1－－＝－x5[4x－6x2＋4x3－x4]x，分子的展开式中x4的系数，即为原式的展开式中x3项的系数，(－1)×1＋4×(－C15)－6C25＋4×(－C35)＝－1－20－60－40＝－121，所以选D.答案：D类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题例3证明：(1)2≤(1＋1n)n3，其中n∈N*；(2)证明：对任意非负整数n,33n－26n－1可被676整除．思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式，分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成676的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，本题也不例外．证明：(1)(1＋1n)n＝1＋C1n·1n＋C2n(1n)2＋…≥2(当且仅当n＝1时取等号)．当n＝1时，(1＋1n)n＝23显然成立；当n≥2时，(1＋1n)n＝C0n＋C1n·1n＋C2n·1n2＋…＋Cnn·1nn＝2＋n(n－1)2！1n2＋n(n－1)(n－2)3！1n3＋…＋n(n－1)…2·1n！1nn＝2＋12！nnn－1n＋13！nnn－1nn－2n＋…＋1n！nnn－1n…2n1n2＋12！＋13！＋…1n！2＋11×2＋12×3＋…＋1n(n－1)＝2＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1－1n)＝3－1n3.综上所述：2≤(1＋1n)n3，其中n∈N*.(2)当n＝0，n＝1时33n－26n－1＝0，显然33n－26n－1可被676整除．当n≥2时，33n－26n－1＝27n－26n－1＝(1＋26)n－26n－1＝1＋26n＋C2n·262＋…＋Cnn·26n－26n－1＝C2n·262＋C3n·263＋…＋Cnn26n＝676(C2n＋26C3n＋…＋26n－2Cnn)．综上所述：对任意非负整数n,33n－26n－1可被676整除．点评：用二项式定理解决整除问题是二项式定理的一大特色，这是二项展开式的一种基本应用，通过对二项式的拆解，我们可以解决一些看似很难但易解决的问题．【巩固练习】已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7，(1)试求f(x)中的x2的系数的最小值；(2)对于使f(x)中的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；(3)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)．这位小男孩的精神，是多么令人感动！他就是快要死了，也不忘自己卖报的诚信，他的灵魂是那么地高尚，那么地伟大！4解：根据题意得：C1m＋C1n＝7，即m＋n＝7.(*)(1)x2的系数为C2m＋C2n＝m(m－1)2＋n(n－1)2＝m2＋n2－m－n2.将(*)变形为n＝7－m代入上式得：x2的系数为m2－7m＋21＝(m－72)2＋354.故当m＝3或4时，x2的系数的最小值为9.(2)当m＝3，n＝4或m＝4，n＝3时，x3的系数为C33＋C34＝5.(3)f(0.003)≈2.02.类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题例4求(x－1)9的展开式中系数最大的项．思路分析：二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是系数最大的项怎么求呢？观察本题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已，所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号．解：Tr＋1＝(－1)rCr9x9－r.∵C49＝C59＝126，而(－1)4＝1，(－1)5＝－1，∴T5＝126x5是所求系数最大的项．点评：此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来求解，但在解题过程中要注意一些常用方法和数学思想的应用．【巩固练习】求(x＋124x)8展开式中系数最大的项．解：记第r项系数为Tr，设第k项系数最大，则有Tk≥Tk－1，Tk≥Tk＋1，又Tr＝Cr－182－r＋1，那么有Ck－182－k＋1≥Ck－282－k＋2，Ck－182－k＋1≥Ck82－k，即8！(k－1)！(9－k)！≥8！(k－2)！(10－k)！×2，8！(k－1)！(9－k)！×2≥8！k！(8－k)！，∴1k－1≥2k－2，29－k≥1k.解得3≤k≤4，∴系数最大的项为第3项T3＝7x52和第4项T4＝7x72.类型五：二项式系数之和、系数之和等问题例5若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值等于__________；思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式．解：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋3)4，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(3－2)4，由此可得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝[(3＋2)(3－2)]4＝1.这位小男孩的精神，是多么令人感动！他就是快要死了，也不忘自己卖报的诚信，他的灵魂是那么地高尚，那么地伟大！5点评：在二项式系数的性质应用中，尤其是系数和的问题，我们经常使用赋值法，这是一种奇妙的方法，可以帮助我们在不用计算每一个系数的前提下，求出各个系数的和．【巩固练习】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求(1)a0＋a1＋…＋a7的值；(2)a0＋a2＋a4＋a6及a1＋a3＋a5＋a7的值；(3)各项二项式系数和．解：(1)令x＝1，则a0＋a1＋…＋a7＝－1.(2)令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝2187.则a1＋a3＋a5＋a7＝－1094；a0＋a2＋a4＋a6＝1093.(3)各项二项式系数和C07＋C17＋…＋C77＝27＝128.【拓展实例】例1(1＋3x)6(1＋14x)10的展开式中的常数项为()A．1B．46C．4245D．4246思路分析：对于非一般的二项式问题，要注意转化成二项式问题解决．本题虽然有两个式子相乘，只要我们写出整个式子的通项，令指数为0，即可求得常数项．解：先求(1＋3x)6的展开式中的通项．Tr＋1＝Cr6(x13)r＝Cr6xr3，r＝0,1,2,3,4,5,6.再求(1＋14x)10的展开式中的通项．Tk＋1＝Ck10