20版中考数学专题- 图形折叠问题（含解析）

模块一正方形的折叠问题1、如图，将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD.则下列结论中：①△ADF是等边三角形；②tan∠EBF＝2－√3；③S△ADF＝13S正方形ABCD；④BF2＝DF·EF.其中正确的是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折叠性质：MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，DEF=∠DEC，∴FD=FA，∴AD=FD=FA，即△ADF是等边三角形，①正确；设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，∵△ADF是等边三角形，∴∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，M=√3AM=2√3a，∴FN=MN-FM=（4-2√3）a，∴tan∠EBF=𝐹𝑁𝐵𝑁=4−2√32=2-√3，②正确；∵△ADF的面积=12AD•FM=12×4a×2√3a=4√3a2，正方形ABCD的面积=（4a）2=16a2，∴𝑆𝛥𝐴𝐷𝐹𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷=4√316=√34，③错误；∵AF=AB，∠BAF=90°-60°=30°，∴∠AFB=∠ABF=75°，∴∠DBF=75°-45°=30°，∠BFE=360°-90°-60°-75°=135°=∠DFB，∵∠BEF=180°-75°-75°=30°=∠DBF，∴△BEF∽△DBF，∴𝐵𝐹𝐷𝐹＝𝐸𝐹𝐵𝐹，∴BF2=DF•EF，④正确；故选B．【小结】本题是相似形综合题目，考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形是等边三角形和证明三角形相似是解决问题的关键．2、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点，BE=3，Q是CD上一动点，将△CEQ沿直线EQ折叠后，点C落在点P处，连接PA．点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，当PA的长度最小时，CQ的长为（）A．333B．33C．32D．3【解析】：如图所示：在Rt△ABE中，AE=．∵BC=3，BE=，∴EC=3-．由翻折的性质可知：PE=CE=3-．∵AP+PE≥AE，∴AP≥AE-PE．∴当点A、P、E一条直线上时，AP有最小值．∴AP=AE-PE=2-（3-）=3-3．故选A．3、如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，3AE，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把EBF沿EF折叠，点B落在'B处，若'CDB恰为等腰三角形，则'DB的长为______.【分析】根据翻折的性质，可得B’E的长，根据勾股定理可得CE的长，然后再根据等腰三角形的判定进行分情况讨论【解析】需分三种情况讨论：（1）若'DBDC，则'16DB（易知此时点F在BC上且不与点C、B重合）；（2）若'CBCD，因为'EBEB，'CBCB，所以点E、C在'BB的垂直平分线上，则EC垂直平分'BB，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，则这种情况不成立；（3）如图，若''CBDB，作'BGAB与AB交于点G，交CD于点H.因为ABCD∥，所以'BHCD.因为''CBDB，所以182DHCD，所以8AGDH，则5GEAGAE，因为'13BEBE.在'RtBEG中，由勾股定理求得'12BG，所以''4BHGHBG.在'RtBDH中，由勾股定理求得'45DB.综上，'16DB或45.【小结】本题考查折叠性质和勾股定理，本题关键在于能够对等腰三角形的情况进行分类讨论4、如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N（1）若CM=x，则CH=（用含x的代数式表示）；（2）求折痕GH的长．【解析】（1）∵CM=x，BC=6，∴设HC=y，则BH=HM=6﹣y，故y2+x2=（6﹣y）2，整理得：y=﹣x2+3，∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴=，∴=，得：HC=﹣x2+2x，答案：﹣x2+3或﹣x2+2x；（2）方法一：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=∠D=90°，设CM=x，由题意可得：ED=3，DM=6﹣x，∠EMH=∠B=90°，故∠HMC+∠EMD=90°，∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴=，即=，解得：x1=2，x2=6，当x=2时，∴CM=2，∴DM=4，∴在Rt△DEM中，由勾股定理得：EM=5，∴NE=MN﹣EM=6﹣5=1，∵∠NEG=∠DEM，∠N=∠D，∴△NEG∽△DEM，∴=，∴=，解得：NG=，由翻折变换的性质，得AG=NG=，过点G作GP⊥BC，垂足为P，则BP=AG=，GP=AB=6，当x=2时，CH=﹣x2+3=，∴PH=BC﹣HC﹣BP=6﹣﹣=2，在Rt△GPH中，GH===2．当x=6时，则CM=6，点H和点C重合，点G和点A重合，点M在点D处，点N在点A处．MN同样经过点E，折痕GH的长就是AC的长．所以，GH长为6．方法二：有上面方法得出CM=2，连接BM，可得BM⊥GH，则可得∠PGH=∠HBM，△GPH和△BCM中，∴△GPH≌△BCM（SAS），∴GH=BM，∴GH=BM==2．5、在正方形ABCD中，（1）如图1，若点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，且∠AOF=90°．求证：AE=BF．（2）如图2，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC=5，CM=2，求EF的长．【解析】（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∵∠AOF=90°，∴∠BAE+∠OBA=90°，又∵∠FBC+∠OBA=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△ABE和△BCF中∵，∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴AE=BF．（2）由折叠的性质得EF⊥AM，过点F作FH⊥AD于H，交AM于O，则∠ADM=∠FHE=90°，∴∠HAO+∠AOH=90°、∠HAO+∠AMD=90°，∴∠POF=∠AOH=∠AMD，又∵EF⊥AM，∴∠POF+∠OFP=90°、∠HFE+∠FEH=90°，∴∠POF=∠FEH，∴∠FEH=∠AMD，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=FH=5，在△ADM和△FHE中，∵，∴△ADM≌△FHE（AAS），∴EF=AM===．6、如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，∠BFC=90°，求的值．【解析】如图，延长EF交CB于M，连接CM，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠A=∠BCD=90°，∵将△ADE沿直线DE对折得到△DEF，∴∠DFE=∠DFM=90°，在Rt△DFM与Rt△DCM中，，∴Rt△DFM≌Rt△DCM，∴MF=MC，∴∠MFC=∠MCF，∵∠MFC+∠BFM=90°，∠MCF+∠FBM=90°，∴∠MFB=∠MBF，∴MB=MC，设MF=MC=BM=a，AE=EF=x，∵BE2+BM2=EM2，即（2a﹣x）2+a2=（x+a）2，解得：x=a，∴AE=a，∴==3．7、在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．【分析】（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=12OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．【解析】（1）AD=CF．理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，AOC=∠DOF=90°，∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF，在△AOD和△COF中，AOCOAODCOFODOF，∴△AOD≌△COF（SAS），∴AD=CF；（2）与（1）同理求出CF=AD，如图，连DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=12OE，∵正方形ODEF的边长为2，∴OE=2×2=2，∴DG=OG=12OE=12×2=1，∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt△ADG中，AD=22224117AGDG，∴CF=AD=17．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．8、在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．【分析】（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；（2）①首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间t=13a，进而得到CM=13a=13CD，所以该命题为真命题；②若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论．【解析】（1）证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，∴∠ADF=∠DCN．在△ADF与△DNC中，90DAFCDNADCDADFDCN，∴△ADF≌△DNC（ASA），∴DF=MN．（2）解：①该命题是真命题．理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=12AB=12CD．∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，∴AEEC=AFCD=12，∴AE=12EC，则AE=13AC=23a，∴t=2AE=13a．则CM=1•t=13a=13CD，∴点M为边CD的三等分点．②能．理由如下：易证AFE∽△CDE，∴AFCD=AEEC，即222AFtaat，得AF=atat．易证△MND∽△DFA，∴NDDMAFAD，即NDatataat，得ND=t．∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，∴AF=DM，即atat=t，得t=0，不合题意．∴此种情形不存在；（II）若FN=FM，由MN⊥DF，HN=HM，∴DN=DM=MC，∴t=12a，此时点F与点B重合；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；又由△NDM∽△DCF，∴DNDCDMFC，即taatFC，∴FC=()aatt．∴()aatt=a-t，∴t=a，此时点F与点C重合．综上所述，当t=a或t=12a时，△MNF能够成为等腰三角形．【小结】本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要