(完整版)数学分析知识点总结(定积分)

第一篇分析基础1.1收敛序列（收敛序列的定义）定义：设}{nx是实数序列，a是实数，如果对任意0都存在自然数N，使得只要Nn，就有axn那么}{nx收敛，且以a为极限，称为序列}{nx收敛收敛于a，记为axnlim或者)(naxn定理1：如果序列}{nx有极限，那么它的极限是唯一的。定理2（夹逼原理）：设}{nx，}{ny和}{nz都是实数序列，满足条件Nnzyxnnn,如果azxnnlimlim，那么}{ny也是收敛序列，且有aynlim定理3：设}{nx是实数序列，a是实数，则以下三陈述等价（1）序列}{nx以a为极限；（2）{}nxa是无穷小序列；（3）存在无穷小序列{}na使得,1,2,.nnxaan（收敛序列性质）定理4：收敛序列}{nx是有界的。定理5：（1）设axnlim，则axnlim。（2）设axnlim，bynlim，则bayxnn)lim(。（3）设axnlim，bynlim，则abyxnn)lim(。（4）设0nx，0limaxn，则axn11lim。（5）设0nx，0limaxn，bynlim，则limlimlimnnnnyybxxa。（收敛序列与不等式）定理6：如果limlimnnxy，那么存在0NN，使得0nN时有nnxy定理7：如果}{nx和{}ny都是收敛序列，且满足0,,nnxynN那么limlimnnxy1.2收敛原理（单调序列定义）定义：（１）若实数序列}{nx满足1,,nnxxnN则称}{nx是递增的或者单调上升的，记为{}.nx（２）若实数序列{}ny满足1,,nnyynN则称{}ny是递减的或者单调下降的，记为{}ny（３）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。定理１：递增序列}{nx收敛的充分必要条件是它有上界，其上确界记为sup{}nx。定理1推论：递减序列{}ny收敛的充分必要条件是它有下界，其下确界记为inf{}nx。扩展：因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部（即从某一项之后的项）有关，所以定理1和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调”，即为10,,nnxxnN及10,,nnyynN（自然对数的底e）自然对数的底e通过下面这个式子求得1lim1nnen我们先来证明序列11nnxn是收敛的。（1）序列11nnxn是单调上升的。111112111(1)(1)(1)2!3!1121(1)(1)(1)!1121(1)(1)(1)!nnxnnnnkknnnnnnnn11111112111(1)(1)(1)12!13!111121(1)(1)(1)!1111121(1)(1)(1)!111112(1)(1)(1)(1)!111nnxnnnnkknnnnnnnnnnnnn对比nx和1nx的展开式，1nx前面1n项的每一项都比nx中相应项要大，即11211121(1)(1)(1)(1)(1)(1)!111!kkknnnknnn除此之外1nx还比nx在最后多一个正项。因此我们得出nx是单调上升的，即1,,nnxxnN（2）序列11nnxn是有上界的。21111121111(1)(1)(1)(1)2!!111112221112113111122nnnnnxnnnnnn序列11nnxn是单调上升且有上界，因此必是收敛的，此收敛值用e表示。通过计算机模拟，我们可以得到e的近似值，前几位是2.718281828459045…在数学中，以e为底的对数称为自然对数，e称为自然对数的底，正实数x的自然对数通常记为lnx，logx或者logex。（闭区间套原理）定理2（闭区间套原理）：如果实数序列na和nb（或闭区间序列,nnab）满足条件（1）11,,nnnnabab（或者11,1nnnnaabbn）（2）lim0nnba那么（i）闭区间序列,nnab形成一个闭区间套。（ii）实数序列na和nb收敛于相同的极限值c。limlimnnabc（iii）c是满足以下条件的唯一实数值。,nnacbnN证明：（ii）由条件（1）可得111nnnnaabbb我们可以看到na单调上升而有上界，nb单调下降而有下界，因此na和nb都是收敛序列。由条件（2）可得limlimlim0nnnnbaba，因此实数序列na和nb收敛于相同的极限值。limlimnnabc（iii）因为supinfnncab所以显然有,nnacbnN假如还有一个实数'c满足',nnacbnN由于limlimnnabc那么根据夹逼准则，有'lim'limlimnnccabc则证明了c是唯一的。（Bolzano-Weierstrass定理）定义：设nx是实数序列，而1231kknnnnn是一串严格递增的自然数，则1231,,,,,,kknnnnnxxxxx也形成一个实数序列。我们把序列knx叫做序列nx的子序列（或部分序列），要注意的是子序列knx的序号是k。定理3：设序列nx收敛于a，则它的任何子序列knx也都收敛于同一极限a。证明：对于任意0，存在0NN，使得只要0nN，就有nxa当0kN时就有0knkN，因而此时有knxa定理4（Bolzano-Weierstrass）：设nx是有界序列，则它具有收敛的子序列。（柯西收敛原理）柯西序列定义：如果序列nx满足条件：对于任意0，存在0NN，使得当0,mnN时，就有mnxx则此序列为柯西序列，又称基本序列。引理：柯西序列nx是有界的。证明：对于任意1，存在0NN，使得当0,mnN时，就有1mnxx于是对于0nN，我们有0001111nnNNNxxxxx若记00121max,,,,1NNKxxxx则有,nxKnN定理5（收敛原理）：序列nx收敛的必要充分条件是：对任意0，存在0NN，使得当0,mnN时，就有mnxx换句话说：序列nx收敛nx序列是柯西序列1.3无穷大定义：（1）设nx是实数序列，如果对任意正实数E，存在自然数N，使得当nN时就有nxE那我们就说实数序列nx发散于，记为limnx（2）设ny是实数序列，如果对任意正实数E，存在自然数N，使得当nN时就有nyE那我们就说实数序列ny发散于，记为limny（3）设nz是实数序列，如果序列nz发散于，即limnz，那么我们就称nz为无穷大序列，记为limnz注记：（1）若集合ER无上界，则记supE（2）若集合FR无下界，则记supF定理1：单调序列必定有（有穷的或无穷的）极限，具体而言是：（1）递增序列nx有极限，且limsupnnxx（2）递减序列ny有极限，且liminfnnyy定理2：设nx和ny是实数序列，满足条件,nnxynN则有：（1）如果limnx，那么limny；（2）如果limny，那么limnx。定理3：如果limnx（或，或），那么对于nx的任意子序列knx也有limknx（或，或）定理4：设0,nxnN，则nx是无穷大序列1nx是无穷小序列扩充的实数系：{,}RR定理5：实数序列nx至多只能有一个极限。扩充的实数系R中的运算：（1）如果xR，那么()()xx()x（2）如果xR，0x，那么()()xx如果yR，0y，那么()()yy（3）如果xR，那么0xx（4）()()，()()()()，()()()()，()()()()()()（5）除此之外，其余都没有定义。1.4函数的极限0x点的领域：00000(,)(,){|||},,,0UxxxxRxxxR0x点的去心领域：000000(,)(,)\{|0||},,,0UxxxxxRxxxR的去心H领域：(,)(,){|},,0UHHxRxHHRH的去心H领域：(,)(,){|},,0UHHxRxHHRH统一叙述：对于aR，我们用()Ua表示a的某个去心邻域，当a为有穷实数时，()Ua的形式为(,)Ua，当a时，()Ua的形式为(,)UH。函数极限的序列式定义：设,aAR（a和A都可以是有穷实数或者），并设函数()fx在a的某个去心邻域()Ua上有定义。如果对于任何满足条件nxa的序列{}()nxUa，相应的函数值序列{()}fx都以A为极限，那么我们说当xa时，函数()fx的极限为A，记为lim()xafxA简单例子如：limsinsinxaxa；limcoscosxaxa；lim||||xaxa；limxaxa；01limsin0xxx，因为1|sin|||xxx；0lim1sinxxx，因为cos1sinxxx；sinlim0xxx，因为sin1||||xxx。定理1：函数极限lim()xafx是唯一的。定理2（夹逼原理）：设()fx，()gx和()hx在a的某个去心邻域()Ua上有定义，并且满足不等式()()(),()fxgxhxxUa如果lim()lim()xaxafxhxA那么lim()xagxA定理3：关于函数的极限，有以下的运算法则：lim(()())lim()lim()xaxaxafxgxfxgxlim(()())lim()lim()xaxaxafxgxfxgxlim()()lim()lim()xaxaxagxgxfxfx定理4（复合函数求极限）：设函数g在b点的某个去心邻域()Ub上有定义，lim()ybgyc。又设函数f在a点的某个去心邻域()Ua上有定义，f把()Ua中的点映射到()Ub之中（用记号表示就是：(())()fUaUb）并且lim()xafxb，则有lim(())xagfxc多项式函数与有理数分式函数求极限的法则如下：（1）设()Px是任意多项式，aR，则lim()()xaPxPa（2）设()Px是任意多项式，()Qx是非零多项式aR，()Qa不都是0，则()()lim()()xaPxPaQxQa（3）设10110100(),(),0,0mmmnnnPxaxaxaQxbxbxbab，则00,()lim,()0,xmnaPxmnQxbmn如果如果如果因为100100,()limlim,()0,mmmnxxnnmnaaaaPxxxxmnbbQxbbxxmn如果如果如果1.5单侧极限定义（序列方式）：设RARa,，并设函数)(xf在),(aa有定义。如果对任意满足条件axn的