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2016年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题1、已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5}B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5}2、复数=（）A．iB．1+iC．-iD．1-i3、执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8B．9C．27D．364、下列函数中，在区间（-1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosxC．y=ln（x+1）D．y=2-x5、圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1B．2C．D．26、从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．7、已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x-y的最大值为（）A．-1B．3C．7D．88、某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳（单位：次）63a7560637270a-1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛二、填空题9、已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为__________．10、函数f（x）=（x≥2）的最大值为__________．11、某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为__________．12、已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=__________，b=__________．13、在△ABC中，∠A=，a=c，则=__________．14、某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有__________种；②这三天售出的商品最少有__________种．三、解答题15、已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．16、已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．17、某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．18、如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．19、已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．20、设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2-3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．2016年北京市高考数学试卷（文科）的答案和解析一、选择题1、答案：C试题分析：由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．试题解析：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．2、答案：A试题分析：将分子分线同乘2+i，整理可得答案．试题解析：===i，故选：A3、答案：B试题分析：根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．试题解析：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B4、答案：D试题分析：根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（-1，1）上的单调性，从而找出正确选项．试题解析：A．x增大时，-x减小，1-x减小，∴增大；∴函数在（-1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y=cosx在（-1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（-1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（-1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选D．5、答案：C试题分析：先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解．试题解析：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（-1，0），∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d==．故选：C．6、答案：B试题分析：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．试题解析：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n==10，甲被选中包含的基本事件的个数m==4，∴甲被选中的概率p===．故选：B．7、答案：C试题分析：平行直线z=2x-y，判断取得最值的位置，求解即可．试题解析：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，令z=2x-y，则平行y=2x-z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，可得2x-y的最大值为：2×4-1=7．故选：C．8、答案：B试题分析：根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．试题解析：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a-1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B二、填空题9、答案：试题分析：根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．试题解析：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．10、答案：试题分析：分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．试题解析：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x=2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．11、答案：试题分析：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．试题解析：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S=×（1+2）×1=，棱柱的高为1，故棱柱的体积V=，故答案为：12、答案：试题分析：由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b．试题解析：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），∴，解得a=1，b=2．故答案为：1，2．13、答案：试题分析：利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．试题解析：在△ABC中，∠A=，a=c，由正弦定理可得：，=，sinC=，C=，则B==．三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，则=1．故答案为：1．14、答案：试题分析：①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．试题解析：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13-3=29种，当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．三、解答题15、答案：试题分析：（1）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得cn=an+bn=2n-1+3n-1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．试题解析：（1）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，bn=b2qn-2=3•3n-2=3n-1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；（2）cn=an+bn=2n-1+3n-1，则数列{cn}的前n项和为（1+3+…+（2n-1））+（1+3+9+…+3n-1）=n•2n+=n2+．16、答案：试题分析：（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间．试题解析：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．17、答案：试题分析：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米．（2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．试题解析：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．18、答案：试题分析：（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；（2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC；（3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明．试题解析：（