经济数学10-ex---副本

主要内容典型例题第十章微分方程习题课基本概念一阶方程类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.线性方程可降阶方程线性方程解的结构相关定理二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法一、主要内容——微分方程微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法变量代换法常数变易法特征方程法待定系数法降阶作变换1.微分基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．通解如果微分方程的解中含有独立的任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．dxxfdyyg)()(形如(1)可分离变量的微分方程解法dxxfdyyg)()(分离变量法2.一阶微分方程的解法)(xyfdxdy形如(2)齐次方程解法xyu作变量代换)()(xQyxPdxdy形如(3)一阶线性微分方程,0)(xQ当上述方程称为齐次的．上述方程称为非齐次的.,0)(xQ当齐次方程的通解为dxxPCey)(（用分离变量法）非齐次微分方程的通解为])([)()(CdxexQeydxxPdxxP（用常数变易法）3.可降阶的高阶微分方程的解法解法),(xPy令特点.y不显含未知函数),()2(yxfy型)()1()(xfyn接连积分n次，得通解．型解法代入原方程,得)).(,(xPxfP,Py),(xPy令特点.x不显含自变量),()3(yyfy型解法代入原方程,得).,(PyfdydpP,dydpPy４.线性微分方程解的结构（1）二阶齐次方程解的结构:)1(0)()(yxQyxPy形如定理1如果函数)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个解,那末2211yCyCy也是(1)的解.（21,CC是常数）定理2：如果)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个线性无关的特解,那么2211yCyCy就是方程(1)的通解.（2）二阶非齐次线性方程解的结构:)2()()()(xfyxQyxPy形如定理3设*y是)2(的一个特解,Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,那么*yYy是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.定理4设非齐次方程(2)的右端)(xf是几个函数之和,如)()()()(21xfxfyxQyxPy而*1y与*2y分别是方程,)()()(1xfyxQyxPy)()()(2xfyxQyxPy的特解,那么*2*1yy就是原方程的特解.５.二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn形如n阶常系数线性微分方程0qyypy二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.02qprr0qyypy特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx特征方程为６.二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程型)()()1(xPexfmx解法待定系数法.,)(xQexymxk设是重根是单根不是根2,10k二、典型例题.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy求通解例1解原方程可化为),cossinsincos(xyxyxyxyxyxyxydxdy,xyu令.,uxuyuxy代入原方程得),cossinsincos(uuuuuuuuxu,cos2cossinxdxduuuuuu分离变量两边积分,lnln)cosln(2Cxuu,cos2xCuu,cos2xCxyxy所求通解为.cosCxyxy.32343yxyyx求通解例2解原式可化为,32342yxyxy,3223134xyxyy即,31yz令原式变为,3232xzxz,322xzxz即对应齐次方通解为,32Cxz一阶线性非齐次方程伯努利方程,)(32xxCz设代入非齐次方程得,)(232xxxC,73)(37CxxC原方程的通解为.73323731xCxy利用常数变易法.212yyy求通解例3解.x方程不显含,,dydPPyPy令代入方程，得,212yPdydPP,112yCP解得，,11yCP,11yCdxdy即故方程的通解为.12211CxyCC.1)1()1(,2yyexeyyyxx求特解例4解特征方程,0122rr特征根,121rr对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY设原方程的特解为,)(2*xebaxxy,]2)3([)(23*xebxxbaaxy则,]2)46()6([)(23*xebxbaxbaaxy代入原方程比较系数得将)(,)(,***yyy,21,61ba原方程的一个特解为,2623*xxexexy故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy,1)1(y,1)31(21eCC,]6)1()([3221xexxCCCy,1)1(y,1)652(21eCC,31121eCC,651221eCC由解得,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为.26])121(612[23xxxexexexeey).2cos(214xxyy求解方程例5解特征方程,042r特征根,22,1ir对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY设原方程的特解为.*2*1*yyy,)1(*1baxy设,)(*1ay则,0)(*1y，得代入xyy214，xbax2144由，04b，214a解得，0b，81a;81*1xy),2sin2cos()2(*2xdxcxy设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy，得代入xyy2cos214故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy,2cos212sin42cos4xxcxd由，04c，214d即，81d，0c;2sin81*2xxy.)(),(1)()(2此方程的通解（２）的表达式；（１），试求：的齐次方程有一特解为，对应有一特解为设xfxpxxxfyxpy例6解（１）由题设可得：),()1)((2,02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得.3)(,1)(3xxfxxp（２）原方程为.313xyxy，的两个线性无关的特解程是原方程对应的齐次方显见221,1xyy是原方程的一个特解，又xy1*由解的结构定理得方程的通解为.1221xxCCy一、选择题:1、一阶线性非齐次微分方程)()(xQyxPy的通解是().(A)])([)()(CdxexQeydxxPdxxP；(B)dxexQeydxxPdxxP)()()(；(C)])([)()(CdxexQeydxxPdxxP；(D)dxxPcey)(.2、方程yyxyx22是().(A)齐次方程；(B)一阶线性方程；(C)伯努利方程；(D)可分离变量方程.测验题3、2)1(,022yxdxydy的特解是().(A)222yx；(B)933yx；(C)133yx；(D)13333yx.4、方程xysin的通解是().(A)322121cosCxCxCxy；(B)322121sinCxCxCxy；(C)1cosCxy；(D)xy2sin2.5、方程0yy的通解是().(A)1cossinCxxy；(B)321cossinCxCxCy；(C)1cossinCxxy；(D)1sinCxy.6、若1y和2y是二阶齐次线性方程0)()(yxQyxPy的两个特解,则2211yCyCy(其中21,CC为任意常数)()(A)是该方程的通解；(B)是该方程的解；(C)是该方程的特解；(D)不一定是该方程的解.7、求方程0)(2yyy的通解时,可令().(A)PyPy则,；(B)dydPPyPy则,；(C)dxdPPyPy则,；(D)dydPPyPy则,.8、已知方程02yyxyx的一个特解为xy,于是方程的通解为().(A)221xCxCy；(B)xCxCy121；(C)xeCxCy21；(D)xeCxCy21.9、已知方程0)()(yxQyxPy的一个特1y解为,则另一个与它线性无关的特解为().(A)dxeyyydxxP)(21121；(B)dxeyyydxxP)(21121；(C)dxeyyydxxP)(1121；(D)dxeyyydxxP)(1121.10、方程xeyyyx2cos23的一个特解形式是().(A)xeAyx2cos1；(B)xxeBxxeAyxx2sin2cos11；(C)xeBxeAyxx2sin2cos11；(D)xexBxexAyxx2sin2cos2121.二、求下列一阶微分方程的通解:1、)1(lnlnxaxyxyx；2、033yxxydxdy；3、022yxxdyydxydyxdx.三、求下列高阶微分方程的通解:1、012yyy；2、)4(2xexyyy.四、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1、0)(2223dyxyxdxy,11yx时，；2、xyyycos2,23,00yyx时，.五、已知某曲线经过点)1,1(,它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.六、设可导函数)(x满足1sin)(2cos)(0xtdttxxx,求)(x.七、我舰向正东海里1处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准敌舰.设敌舰以0v常数沿正北方向直线行驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷的航行曲线方程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击中?测验题答案一、1、A；2、A；3、B；4、A；5、B；6、B；7、B；8、B；9、A；10、C.二、1、xcaxyln；2、12122xeCyx；3、Cxyyxarctan222.三、1、)cosh(1211CxCCy；2、xxexxeCeCCyxxx222321)9461(.四、1、0)ln21(2yyx；2、xxeyxsin21.五、xxxyln.六、xxxsincos)(.七、)10(32)1(31)1(2321xxxy.敌舰航行32海里后即被击中.