材料力学第四章-扭转

1第四章扭转§4-1工程实际中的受扭杆§4-2受扭杆的内力——扭矩扭矩图§4-3薄壁圆筒的扭转§4-4圆轴扭转时的应力与应变§4-5圆轴扭转时的应力状态分析§4-6圆轴扭转时的破坏现象§4-7圆轴扭转时的强度与刚度计算*§4-8非圆截面杆在扭转时的应力与变形2§4-1工程实际中的受扭杆变形特点：Ⅰ.相邻横截面绕杆的轴线相对转动；Ⅱ.杆表面的纵向线变成螺旋线；Ⅲ.实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。受力特点：一对转向相反、作用在垂直于杆轴线的两个平面内的外力偶。mm圆轴扭转变形3工程实例：如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆、钳工用双手转动丝锥攻螺纹时的丝锥杆、汽车方向盘下的轴等。4生活中的受扭杆件5工程中的受扭杆件678本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。n主动轮从动轮叶片主轴Me9§4-2外力偶矩的计算·扭矩及扭矩图Ⅰ.传动轴的外力偶矩作用在轴上的外力偶之矩通常不是直接给出的，往往要由轴所传递的功率和轴的转速来计算。如上图，设动力经主动轮输入、然后由从动轮输出。若已知轴的转速为n(r/min),主动轮的输入功率为（Kw)则在t秒内输入的功为。)(mkNtNWkkN10602tnmtNkπ260nNmk输入的功由带轮以力偶（其矩为m）的形式作用于轴上。外力偶m在t秒钟所作的功，应等于带轮输给轴的功，即由此求出计算外力偶矩m的公式为其中：P—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（r/min）)(55.9mkNnNk11主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。第四章扭转12Ⅱ.扭矩及扭矩图传动轴横截面上的扭矩Mn可利用截面法来计算。第四章扭转mMn13扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。第四章扭转)(nM)(nM14[例1]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入NK1=500kW，从动轮输出NK2=150kW，NK3=150kW，NK4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDm2m3m1m4解：①计算外力偶矩m)15.9(kN3005009.55N55.9K11nmm)(kN78.43001509.5555.9232nNmmKm)(kN37.63002009.55N55.9K44nm15nABCDm2m3m1m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）mkN78.40M,022n1mMmmnxmkN56.9)78.478.4(,0322322mmMmmMnnmkN37.6,0M434n3mMmn16③绘制扭矩图mkN56.9maxnMBC段为危险截面。nABCDm2m3m1m49.56x4.786.37––nM)(mkN扭矩图简洁画法17扭矩图应与原轴平行对齐画mADABCmBmCmD351N·m702N·m468N·mnM作内力图要求：1.正确画出内力沿杆轴分布规律182.标明特殊截面的内力数值4.注明单位3.标明正负号mADABCmBmCmD351N·m702N·m468N·mnM19薄壁圆筒：壁厚0101r（r0：为平均半径）1、变形现象的观察实验前：①绘纵向线，圆周线；§4-3薄壁圆筒的扭转②施加一对外力偶m。薄壁圆筒的扭转2021实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。②各纵向线均倾斜了同一微小角度。③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。2、横截面上的应力22ττ：=0，≠0ⅲ方向：对轴线的矩与扭矩一致。ⅱ垂直于计算点所在半径；ⅰ假设沿壁厚均匀分布；（为什么？）mnM23nAMrA0d由薄壁圆筒横截面上剪应力的计算公式：AnArMd0AnMArd0，于是有mmmxr0dA2000π2)π2(rMrrMnn根据应力分布可知243、剪应力互等定理：0zm上式称为剪应力互等定理。dxABCDdy´´z该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，方向共同指向或共同背离两平面的交线。dydx)(故dxdy)(25单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。dxABCDdy´´264、剪切虎克定律：acddxbdy´´ττγ27)()2(00nrLtAM剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。)(pGmMn28式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。)1(2EG29)(s思考题：图示薄壁圆筒，其截面厚度，求横截面上的剪应力。)(stt作业：4-730§4-4等直圆杆扭转时的应力·强度条件Ⅰ.横截面上的应力表面变形情况推断横截面的变形情况(问题的几何方面)横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系(问题的物理方面)内力与应力的关系横截面上应力的计算公式(问题的静力学方面)31321.表面变形情况：(a)相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b)纵向线倾斜了一个角度g。平面假设——等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有剪应力，且垂直于半径。(1)几何方面332.横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：即xρdd34xρdd式中——相对扭转角沿杆长的变化率，常用‘（或u）来表示，对于给定的横截面为常量。xdd可见，在横截面的同一半径的圆周上各点处的剪应变均相同；与成正比，且发生在与半径垂直的平面内。第四章扭转35xGGdd(2)物理方面由剪切胡克定律G知可见，在横截面的同一半径的圆周上各点处的剪应力均相同，其值与成正比，其方向垂直于半径。36ppIMGIMGnnρ(3)静力学方面其中称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。AAd2dnAMA从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处剪应力计算公式pddGIMxnAAId2p以代入上式得：nAMAxGddd2即37pppmaxWMrIMIrMnnnpIMnnMmaxmaxd式中Wp称为抗扭截面模量，其单位为m3。横截面周边上各点处(r)的最大剪应力为nMmaxmaxdD38实心圆截面：32πdπ24203dd圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面模量Wp16π2/3ppddIWAAId2p39思考：对于空心圆截面，,其原因是什么？(33p116πDW空心圆截面：((DdDdDAIDdA其中44442232p132π32πdπ2d((4344pp116π16π2/DDdDDIW40例题4-2实心圆截面轴Ⅰ(图a)和空心圆截面轴Ⅱ(图b)（）除横截面不同外，其它均相同。试求两种圆轴在横截面上最大剪应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。8.0/22Dd4131e1pe1p1max,1π16dMWMWMn(432e2pe2p2max,21π16DMWMWMn解：(4322p311p116π,16πDWdW194.18.0113412dD由1,max=2,max，并将＝0.8代入得42两轴的重量比即为其横截面面积之比：(((512.08.01194.114π4π222122221222212dDddDAA空心圆轴的自重比实心圆轴轻。实际应用中，尚需考虑加工等因素。43Ⅱ.强度条件][max此处[]为材料的许用剪应力。对于等直圆轴亦即][pmaxWMn铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的剪应力有固定关系，故仍可以剪应力和许用剪应力来表达强度条件。低碳钢扭转试验开始44低碳钢扭转试验结束低碳钢扭转破坏断口45铸铁扭转破坏试验过程46铸铁扭转破坏断口47例题4-3图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m，材料的许用剪应力[]80MPa。试校核该轴的强度。48BC段内(MPa3.71Pa103.71m1010016πmN101463332p2max,2WMnAB段内(MPa8.64Pa108.64m1012016πmN102263331p1max,1WMn解：1.绘扭矩图2.求每段轴的横截面上的最大剪应力493.校核强度需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。2,max1,max，但有2,max[]=80MPa，故该轴满足强度条件。50§4-5等直圆杆扭转时的变形·刚度条件Ⅰ.扭转时的变形等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)来度量。MeADBCMe51当等直圆杆相距l的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有pGIlMn由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为可知，杆的相距l的两横截面之间的相对扭转角为pddGIMxnlnlxGIM0pdd52解：1.各段轴的横截面上的扭矩：mN637M,mN95521nnM例题4-4图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1592N·m，M2=955N·m，M3=637N·m，lAB=300mm，lAC=500mm，d=70mm，钢的切变模量G=80GPa。试求横截面C相对于B的扭转角CB(这里相对扭转角的下角标的注法与书上不同，以下亦如此)。53((((rad1069.1m107032πPa1080m10500mN63734393P2GIlMACnCA3.横截面C相对于B的扭转角：(rad1017.0rad1069.1rad1052.1333CAABCB((((rad1052.1m107032πPa1080m10300mN95534393P1GIlMABnAB2.各段轴的两个端面间的相对扭转角：54Ⅱ.刚度条件式中的许可单位长度扭转角[']的常用单位是(°)/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：对于精密机器的轴[']≈0.15~0.30(°)/m；对于一般的传动轴[']≈2(°)/m。][max][π180pmaxGIMn55解:1.按强度条件求所需外直径D(有由因][,161516π116πpmaxmax343pWMDDWnm10109Pa10401615πmN1056.916][1615π16363max33nMD例题4-5由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比=0.5。已知材料的许用剪应力[]=40MPa，切变模量G=80GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为M