材料力学第七章-梁的变形

12§7–1梁的挠度和转角§7–2直梁挠曲线近似微分方程§7–3用积分法求梁的变形§7–4用叠加法求梁的变形§7–5梁的刚度条件3§7-1梁的挠度和转角一、研究变形的目的1.建立刚度条件（限制变形）；2.利用变形（缓冲，减震）。例45二、挠曲线挠曲线的特点：1.平面弯曲变形时为一条平面曲线；２.≤p,挠曲线光滑连续6F轴线挠曲线纵向对称面MP1P2q梁变形后的轴线称为挠曲线三、梁的变形的描述1.挠度：截面形心在垂直于原轴线方向的线位移。与y轴正向一致为正。挠度方程2.转角：横截面的角位移。在如图所示的座标系下，顺时针转为正，反之为负。转角方程θ=θ（x）平行于轴线方向的线位移忽略7Fθxyxyy=f(x).建立座标系如图挠度与转角的关系：小变形tgθ′≈θ′=y′8xyxxyyddθ’θ=θ′yθ§7-2直梁挠曲线近似微分方程纯弯曲9FFxdxyxzEIMk1挠曲线曲率2321yy一、挠曲线近似微分方程dθ(x)横力弯曲ZxEIxM)(1小变形：y′＜＜1,故1+(y′)2≈1，zEIxMyy)(123210zEIxMy)(M与y″异号11xyo正负号的确定zEIxMy)(M0y″0xyoM0y″0——挠曲线近似微分方程注意事项——适用条件1.忽略剪力Q的影响；2.小变形，y′1,3.材料服从胡克定律。EIxMy)(12§7.3用积分法求梁的变形每段弯矩方程积分后出现两个积分常数，须确定它们。13EIxMy)(CdxxMEIy)(1DCxdxdxxMEIy)(1积分常数的确定：1.边界条件——约束条件挠曲线必须正确地通过约束点。2.连续光滑条件（变形连续条件）相邻段挠曲线必须光滑连接。14边界条件（约束条件）：BAlxBAlxx=0,y=0x=l,y=0x=0,y=0,θ=015FBa2aCAxyx1x2RARBx1=x2=a,y1′=y2′y1=y2x1=0,y1=0x2=3a,y2=0边界条件（约束条件）：连续光滑条件：例：写出确定梁积分常数的条件边界条件：x=0,yＡ=0yA′=0x=a+l,Y2=⊿lCD连续条件:x=a,y1=y216allxABCDyq17例1求图示梁的挠度方程、最大挠度及最大转角。（已知：EI=常数）建立坐标系并写出弯矩方程)()(LxPxM写出微分方程的积分并积分由边界条件求积分常数)()(xLPxMyEICxLPyEI2)(21DCxxLPEIy3)(61061)0(3DPLEIy021)0()0(2CPLyEIEI3261;21PLDPLC解：PLxyx18写出弹性曲线方程并画出曲线3233)(6)(LxLxLEIPxyEIPLLyy3)(3maxEIPLL2)(2max最大挠度及最大转角xyPL19例2.已知：EI=常数,求1）转角、挠度方程；2）ymax,θmax;3）画挠曲线大致形状。RA=2F/3（↑）,RB=F/3（↑）3.列弯矩方程2.求支座反力FBa2aCAxyx1x2RARB解：1.建立坐标系)0(32)(11axxFxM)3()(32)(222axaaxFxFxM204.列挠曲线近似微分方程并积分1132xFEIy)(32222axFxFEIy12113'CxFEIy22222'2)(23CaxFxFEIy1113119DxCxFEIy22232322)(69DxCaxFxFEIy5.确定积分常数x1=0,y1=0——D1=0x1=x2=a,y1′=y2′—C1=C2y1=y2—D1=D2=0x2=3a,y2=0——C1=C2=－5Fa2/96.转角、挠度方程EIθ1=－Fx12/3＋5Fa2/9EIθ2=－Fx22/3＋F(x2－a)2/2＋5Fa2/9EIy1=－Fx13/9＋5Fa2x1/9EIy2=－Fx23/9＋F(x2－a)3/6＋5Fa2x2/9（0≤x1≤a）（a≤x2≤3a）7.求ymax,θmax21EIFaxA95,02maxEIFayax3max4838.0,367.1（）接近最大挠度，通常可代替最大挠度计算。8.画挠曲线大致形状可根据约束和荷载画出。22对比,梁的中点DEIFayD34792.0FBa2aCAxyx1x2RARB画挠曲线大致形状依据1.约束条件；2.荷载情况；3.凹凸情况——由y″即M的正负号决定；M0,凹；M0,凸;一段M=0,直线；一点M=0,拐点4.光滑连续特性。2324FlFlM25FlbaABCMlFab26F直线27lllmmABCD画挠曲线大致形状28那一个是正确的？DCAB29画挠曲线大致形状lllM0M030那一个是正确的？M0M0(A)M0M0(B)M0M0(C)M0M0(D)31作业：7-3（a），7-632§7.4用叠加法求梁的变形计算梁在多个荷载作用下的变形时，可以采用叠加法计算。在计算梁的弯矩和建立挠曲线微分方程时，利用了“小变形”假设，故所导出的转角方程和挠度方程都为荷载q、P、m的线性函数。y即：y即：pxf)(1qxf)(2mxf)(3mxgqxgpxg)()()(321pyqymymqpqpyyyqp33P=qaBACaaqpBACaaBACaaq例如，求图示梁的变形叠加原理计算变形：在材料服从胡克定律小变形的条件下，几个力共同作用引起梁的变形，等于这几个力分别单独作用时引起梁的变形的代数和。例如，求图示梁的yccqcpcyyy34P=qaBACaaqycqaBACaayCpBACaaqyCq利用叠加原理求某一单个截面的转角或挠度是很方便的则分解为简单模型简单模型---悬臂梁35EImlyEImlAA22EIPlyEIPlAA3232EIqlyEIqlAA8643AlPAlmAlq36简单模型---简支梁EIPlyEIPlCA481632EIqlyEIqlCA38452443EImlyEImlCBA16622BA2l2lCqBA2l2lCmBA2l2lCP例题1已知：q,a,EI=常数求：θA,yC37qaBACaaq2.分别计算38EIaqayCP4823EIaqyCq384254P=qaBACaaqyCqaBACaayCpBACaaqyCq1.分解解3.叠加yC=yCP+yCq39P=qaBACaaqyCqaBACaayCpBACaaqyCqθAqEIaqa4823=EIaq384254EIqa834AqAPAEIaqEIaqa24216232EIqa1273θAθAp例题2已知：EI=常数求:yC分析：yC的组成F单独作用：40m单独作用：yBF+θBl/2（↓）yCm（↑）Cm=FlABF2l2lCABF2l2lyBFθB2lBCm=FlAB2l2lyCmEIlF323EIFl24341结果：CyBFyEIlFB222EIlFlyCm22Cm=FlABF2l2lCABF2l2lyBFθB2lBCm=FlAB2l2lyCmEIFl48193BFy2lBcmy例题342EIqayyycFcC3241EI=常数，求yCqaBACa2aqCaFByCF结果2)再将AB段刚化，则BC段弹性弯曲引起yCF(↓)BA2aqaqa2qaθByC1其中2qaqB分析：用逐段刚化法（P256)1)先将BC段刚化则AB段B截面转角引起（↑）ayBc143怎样用叠加法确定C和yC?例题4CAB2l2lCyCq44CAB2l2lCyCqAB2l2lqAB2l2lqAB2l2lq简单静不定梁（超静定梁）45CFlABF2l2lqaBACaa一、静定梁二、简单静不定梁46BACAFB静不定次数=全部未知力数目-全部独立平衡方程数目47AFBl48处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解：取基本静定梁用反力代替多余约束所得到的结构——基本静定梁。EIqLABxy例1.求图示梁的支座反力。ABqLRB49变形协调方程0BqBRByyyB+LRBAB=RBABqAB物理方程——变形与力的关系EIqLyEILRyBqBBRB8;34303834EILREIqLB83qLRB④平衡方程求反力。RAqLRA85MA281qlMAyBRByBq0By50变形协调方程：解：建立基本静定梁BCBqBRBLyyyB=例2.求B点反力。LBCEAxfqLRBABCqLRBABEI+qAByBq=yBRBRBAB51=LBCEAxyqLRBABCRBAB+q0AB物理方程——变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力、变形等）EIqLyEILRyBqBBRB8;343EALREILREIqLBCBB3834)3(834EILALIqLRBCBEALRLBCBBCyBRByBq52§7.5梁的刚度校核工程中常用f表示最大挠度值，即刚度条件：maxyf,ff或lflfθmax≤[θ]lf精密机床主轴10000150001吊车梁75014001土建100012501[θ]齿轮(0.001～0.005)radnlf53AlP例：有一长度为l=4m的悬臂梁，在自由端承受集中力p=10kN，试按强度条件及刚度条件从型钢表中选择一工字型截面。已知400170lf,MPσa解（1）按强度条件选择截面maxMW选用20a号工字钢，其2370cmI,23733cmWPlmkN4063101701040310235.03m3235cm查型钢表，maxM54AlPf（2）进行刚度校核(最大挠度值见P260）f不满足刚度条件（3）按刚度条件重新选择截面，fEIPlf33由fEPlI33有查型钢表，选用32a号工字钢，,692cmW1110034cmI显然能满足刚度条件，故此梁的截面取决于刚度条件。EIPl3389331023701021034101021029.4mmm9.42400lfmm10mmf104441016010016.1cmm55作业：7-8，7-12