工程水文学水文第四章统计2

一、正态分布密度函数（1）单峰左右对称（3）曲线两端趋于无限，并以x轴为渐进线。（2）在X第四节理论频率曲线1、特点2、正态分布函数：F（x）=P(Xx)=dxexxx222/)(21•正态频率曲线在普通格纸上是一条规则的S形曲线，他在P=50%前后的曲线方向相反，但形状完全一样。50水文计算中的“频率格纸”的横坐标就是将标准正态频率曲线拉成直线的原理计算出来的。P=50%时,x=0;P=0.01%,x=3.72;频率格纸中间分隔较密，越往两端越稀。把频率曲线画在普通方格纸上，因频率曲线两端特别陡，加上图幅的限制特大频率或特小频率难点在图上，频率格纸能解决这样的困难。二、皮尔逊Ⅲ型分布英国生物学家皮尔逊注意到物理学、生物学、以及经济学上有些随机变量不具有正态分布，因此致力于探讨各种非正态的分布曲线，最后提出13种分布曲线的类型。其中第Ⅲ型曲线被引入水文计算中。１、密度函数：f(x)=----------)(100)()(xeax)(参数：0,,aα的伽玛函数2、密度函数的特点（1）一端有限，一端无限（2）不对称单峰铃形分布可证这三参数与统计参数密度函数中三参数确定后，f(x)也就确定了。•所以，有下列关系：SVCCx,,24SCSVCCX2)21(0SVCCXa•α，β，a0就确定了，f(x)也定了。SVCCx,,三参数确定后，3、分布函数：P=p(Xxp)=βα/Г(α)XP取决于P，P又取决于α，β，a0，这三个参数又取决于。dxexpxax)(100)(SVCCx,,水文中的问题是：指定频率P求与P对应的随机变量Xp•XP与P是一一对应关系，但直接由积分式计算较复杂。•前人（美国的福斯特和俄罗斯的雷布京）已将此项工作完成，制成了表）取标准变量Φ=（离均系数）)/()(VCxxxΦ的均值为0，标准差为1。当x=xp时，由上式可得得：XP=（ΦPCV+1）)()(VPPCXXX则皮尔逊Ⅲ型分布函数变为：dCfPS),(P（ΦΦP）=X式中被积函数只含有一个参数CS，只要给定CS就可算出ΦP和P的对应值。对于若干给定的CS值，ΦP和P的对应数值已制成表，见附表1例某站平均年径流量=1000mm,•CV=0.25,CS=0.5•若年径流的分布符合皮尔逊Ⅲ型分布，•求P=1%的年径流为多少？•查Φ值表ΦP=2.68R1%=（1+CVΦ）•=1000（1+0.25*2.68）=1670mmR为实用方便，对常用的若干CV，CS，采用模比系数KP)(XXKPP由附表1的ΦP和P的对应关系，•经KP=ΦPCV+1的转换，•建立KP与P的直接对应数值关系。•常用的KP与P的关系见附表2。在已有的Ф值表基础上作数值外延或内插：P—Ⅲ型分布离均系数Ф值随偏态系数CS的变化比较平缓，一般的Ф值表经线性内插所带来的误差都小于Ф值表自身四舍五入的容许误差，实际应用时采用抛物线插值即可，无需再作处理。然而Ф值随频率P的变化十分剧烈即使密度最大的函值表采用三点甚至四点插值所产生的误差都很大。由插值理论可知，仅提高插值函数的阶数是不可能无限降低插值误差的。三、经验频率曲线由数学方程表示的频率曲线属于理论频率曲线•由实测资料（样本）绘制的频率曲线是经验频率曲线。它是水文频率计算的基础。•设某水文要素的实测系列有n项，将它们由大到小排序：X1，X2，X3，。。。。。。。。Xn-2，Xn-1，Xn经验频率：在系列中大于及等于样本Xi的出现次数与样本容量之比值。P=P:大于及等于Xm的经验频率m：Xm的序号，即观测资料中大于及等于样本Xm项数n:样本容量，即观测资料的总项数nm*100%系列中大于及等于X1的频率为。。。。。。当m=n时，最末项Xn频率为100%，n1•大于及等于X2的频率为n2年份年降水量序号从大到小排列的Xi1956538.311064.51957624.929981958663.23964.21959591.74883.51960557.25789.319619986769.21962641.57732.91963341.187091964964.29687.31965687.310663.21966546.711641.51967509.912624.91968769.213615.51969615.514606.71970417.115591.71971789.316587.71972732.917586.719731064.518567.41974606.719557.21975586.720546.71976567.421538.31977587.722509.9197870923417.11979883.524341.1系列中大于及等于X1的频率为=大于及等于X2的频率为241242。。。。。。最末项大于等于nX的频率为2424即样本的末项Xn是总体中的最小值，样本以外不会出现比Xn更小的值，不符合实际。若n项实测资料本身就是总体，则上述公式无不合理处。但水文资料都是样本资料。为修正由样本推算总体出现的不合理估算，提出相应合理的计算公式。目前我国水文计算采用数学期望公式。•数学期望公式P=•切哥达也夫公式P=•海森公式P=%1001nm%1004.03.0nm%1005.0nm1958663.23964.2121959591.74883.5161960557.25789.32019619986769.2241962641.57732.9281963341.18709321964964.29687.3361965687.310663.2401966546.711641.5441967509.912624.9481968769.213615.5521969615.514606.7561970417.115591.7601971789.316587.7641972732.917586.76819731064.518567.4721974606.719557.2761975586.720546.7801976567.421538.3841977587.722509.988197870923417.1921979883.524341.196666.3958175.4702•