2.1离散型随机变量及其发布

2.1.1离散型随机变量随机试验是指满足下列三个条件的试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。比如说投篮，抛硬币，抽奖。导入新课问题1：某人在射击训练中，射击一次，命中的环数.问题2：掷一枚骰子一次，向上的点数.试验的结果用数字表示试验结果试验的结果用数字表示试验结果命中0环命中1环命中2环命中10环01210出现1点出现2点出现3点出现4点出现5点12345出现6点6思考：从上述两个问题中你发现它们有无共同的特征？每一个实验结果都可以用一个确定的数字来表示......导入新课问题3：掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数字来刻画这种随机试验的结果呢？问题4：从装有黑色，白色，黄色，红色四个球的箱子中摸出一个球，可能会出现哪几种结果？能否用数字来刻画这种随机试验的结果呢？试验的结果用数字表示试验结果正面向上反面向上10试验的结果用数字表示试验结果黑色白色黄色红色1234导入新课①每一个试验的结果可以用一个确定的数字来表示；每一个确定的数字都表示一种试验结果.②同一个随机试验的结果,可以赋不同的数字;实数随机试验结果③数字随着试验结果的变化而变化，是一个变量；1、随机变量定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化，像这样随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母Ｘ，Ｙ，ξ、η...等表示.随机变量例.判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量。（1）某天我校校办接到的电话的个数.（2）标准大气压下，水沸腾的温度.（3）在一次比赛中，设一二三等奖，你的作品获得的奖次.（4）体积64立方米的正方体的棱长.（5）抛掷两次骰子,两次结果的和.（6）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数.解:是随机变量的有(1)(3)(5)(6)典型例题（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数；（2）某射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分；（x=1、2、3、···、10）（Y=0、1）离散型问题1：下列随机试验的结果能否用随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值.想一想：以上2题的随机变量能不能一一列举出来？所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.离散型随机变量定义：离散型随机变量（1）某品牌的电灯泡的寿命X；（2）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场任意一棵树木的高度X．（3）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量与规定量之差X.[0，+∞)[0.5，30]非离散型问题2：下列三个问题中的X是离散型随机变量吗？注意：随机变量不止两种，高中阶段我们只研究离散型随机变量；[0，2500]典型例题例判断下列变量是否为离散型随机变量：(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；(3)湘江某水文站一天中观察到的水位；(4)湘江大桥一天中经过的车辆数.解：（1）,（2）,(4)是离散型随机变量，（3）不是.典型例题变量离散与否与变量的选取有关；比如：如果我们只关心电灯泡的使用寿命是否不少于1000小时，那么我们可以这样来定义随机变量？它只取两个值0和1，是一个离散型随机变量小时寿命小时寿命1000100010Y小结：我们可以根据关心的问题恰当的定义随机变量.3、恰当定义随机变量（1）某品牌的电灯泡的寿命Y；（2）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场任意一棵树木的高度X．（3）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量与规定量之差X.典型例题（2）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场任意一棵树木的高度X；（3）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量与规定量之差X.[0.5，30][0，2500]一展身手：对于上面问题中的（2）（3）你能不能恰当的定义随机变量，使得随机变量为离散型随机变量呢?X=mlX501，mlX500，X=米，20301X米，205.00X典型例题联系：随机变量和函数都是一种一一对应关系；区别：随机变量把随机试验的结果对应为实数，函数把实数对应为实数。试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。随机变量和函数有什么区别和联系呢？例如：掷一枚骰子一次，向上的点数X是一个随机变量，其值域是{1，2，3,4,5，6}思考：导入新课（2）一个袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从中随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ，写出ξ的所有取值并指出它表示的随机试验结果.ξ＝3，表示取出123号球；ξ＝4，表示取出124，134,234号球；ξ＝5，表示取出125,135,145，235,245，345号球；解：其值域是{3，4，5}典型例题1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是()A.两次出现的点数之和B.两次掷出的最大点数C.第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的点数值D.抛掷的次数D2.如果记上述C选项中的值为ξ，试问:(1)“ξ4”表示的试验结果是什么?(2)P(ξ4)=?答:(1)因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得，也就是说“＞4”就是“＝5”．所以，“＞4”表示第一枚为6点，第二枚为1点．55≤≤典型例题3.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为ξ,则ξ所有可能值的个数是____个；“”表示．9“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、第二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号．4典型例题2.1.2离散型随机变量的分布列1.离散型随机变量X的分布列的概念？若离散型随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下列表格称为X的分布列.pn…pi…p2p1Pxn…xi…x2x1X分布列2.离散型随机变量X的分布列有哪几种表示方法？有哪两条基本性质？表示方法：解析法，列表法，图象法.基本性质：（1）pi≥0，i＝1，2，…，n；（2）p1＋p2＋…＋pn＝1.分布列思考1：篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.若姚明罚球命中的概率为0.95，则其罚球命中的分布列用列表法怎样表示？0.950.05P10X思考2：在抛掷一枚图钉的随机试验中，令，若针尖向上的概率为p，则随机变量X的分布列用列表法怎样表示？p1－pP10X典型例题思考3：将上述两个分布列取名为两点分布列，那么在什么情况下，随机变量X的分布列可成为为两点分布列？随机试验只有两个可能结果.思考4：如果随机变量X的分布列为两点分布列，则称X服从两点分布。(1)在两点分布中随机变量的值域是什么？(2)分布列P(X＝2)＝0.4，P(X＝5)＝0.6是否为两点分布？{0，1}否两点分布思考5：两点分布又称0－1分布，或伯努利分布，在两点分布中，X＝1对应的试验结果为“成功”，P(X＝1)称为成功概率.问：能否将分布列P(X＝2)＝0.4，P(X＝5)＝0.6变换为两点分布？令，则Y服从两点分布.两点分布注：两点分布中随机变量只有0和1两个不同取值，但只有两个不同取值的随机变量不一定服从两点分布.对只有两个不同取值且不服从两点分布的随机变量，可以通过适当的变换转化为两点分布.思考1：某100件产品中有5件次品，从中任取3件所含的次品数为X，那么随机变量X的值域是什么？{0，1，2，3}思考2：结合古典概型和组合原理，X＝0，1，2，3对应的概率分别如何计算？能否用解析法表示X的分布列？k＝0，1，2，3.思考3：根据X的分布列，如何计算至少取到1件次品的概率？典型例题思考4：一般地，设N件产品中有M件次品，从中任取n件产品所含的次品数为X，其中M，N，n∈N*，M≤N，n≤N－M，则随机变量X的值域是什么？X的分布列用解析法怎样表示？k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}.思考5：上述分布列称为超几何分布列，如果随机变量X的分布列是超几何分布列，则称X服从超几何分布。超几何分布例1已知随机变量ξ服从两点分布，其分布列如下，求ξ的成功概率.3－8c9c2－cP10ξP(X＝1)＝典型例题例2在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有大小相同的10个红球和20个白球，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.P{X≥3}＝P{X＝3}＋P{X＝4}＋P{X＝5}≈0.191典型例题解：设摸出红球的个数为X,则X服从超几何分布,其中5,3,2NMn,∴X的可能取值为0,1,2.∴23225()(0,1,2)kkCCPXkkC∴随机变量X的分布列是X012P11035310求分布列一定要说明k的取值范围！典型例题例题：一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球的个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半，现从该盒中随机取出一球，若取出红球得1分，取出绿球得0分，取出黄球得-1分，试写出从该盒内随机取出一球所得分数ξ的分布列.解：设黄球的个数为n，由题意知绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中的总数为7n．∴7474)1(nnP，717)0(nnP，7272)1(nnP．所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为10-1P471727典型例题3.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽出1个白球和2个红球的概率是()(A)3742(B)1742(C)1021(D)1721(注:许多问题其实就是超几何分布问题)C典型例题1、分布列的性质(1)01,123,ipin，，，剟1123(2)1npppp3、如何求分布列找出随机变量ξ的所有可能的取值求出各取值的概率列成表格2、根据分布列求概率离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于其在这个范围内取每一个值的概率之和()iiPxp两点分布如果随机变量的分布列为：01P1-pp这样的分布列称为两点分布列(0—1分布或伯努利分布),称随机变量服从两点分布,而称(1)pP为成功概率.超几何分布:一般地,在含有M件次品的N件产品中，任取n件,其中恰有X件次品数,则事件Xk发生的概率为()(0,1,2,,)knkMNMnNCCPXkkmC其中min,mMn,且*,,,,nNMNnMNN≤≤.称随机变量X的分布列为超几何分布列,且称随机变量X服从超几何分布注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样⑵超几何分布中的参数是M,N,n