选修4-4-参数方程

曲线的参数方程？救援点投放点一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？如图，建立平面直角坐标系。因此,不易直接建立x,y所满足的关系式。x表示物资的水平位移量，y表示物资距地面的高度，由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，导入新课xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？t时刻，水平位移为x=100t，离地面高度y，即：y=500-gt2/2，2100,1500.2xtygt物资落地时，应有y=0，得x≈10.10m；即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s，因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。导入新课(),().xftygt一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。参数方程例1:已知曲线C的参数方程是（t为参数）(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。1232tytx解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所以M1在曲线上．124352tt把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到这个方程无解，所以点M2不在曲线C上．12362tat(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以解得t=2,a=9所以，a=9.例题为参数）ttytx(3412练习1、曲线与x轴的交点坐标是()BA(1，4)；B(25/16,0)C(1,-3)D(±25/16,0))(cossin为参数yx2、方程所表示的曲线上一点的坐标是()DA(2，7)；B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1，0)例题（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.参数方程求法:（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为;（2）选取适当的参数;（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式;参数方程求法圆的参数方程1.圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圆心坐标为(a,b),半径为r的圆。2.三角函数的定义？3.参数方程的定义？则设（终边上任意一点角,),,rOPyxPxyryrxtan,sin,cos一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，即为参数）ttgytfx()()(复习∵点P在∠P0OP的终边上,如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r.与x轴正半轴的交点为P0,圆上任取一点P,若OP0按逆时针方向旋转到OP位置所形成的角∠P0OP=θ,求P点的坐标。根据三角函数的定义得sin,cos.yxrrcos,sin.xryr(cos,sin).Prr解:设P（x,y）,(1)我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。其中参数θ表示OP0到OP所成旋转角，。02圆的参数方程vbaPxyrxOy)(sincos为参数rbyrax),(1baO圆心为，半径为r的圆的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。圆的参数方程1.写出下列圆的参数方程:(1)圆心在原点,半径为:______________;3(2)圆心为(-2,-3),半径为1:______________.3x=cosθy=sinθ3x=-2+cosθy=-3+sinθ2.若圆的参数方程为,则其标准方程为:_________________.x=1+5cosθy=-1+5sinθ(x-1)2+(y+1)2=253.已知圆的方程是𝑥2+𝑦2−2𝑥+3𝑦+6=0,则它的参数方程为_______________.x=1+2cosθy=-3+2sinθ例题例2：如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQxOP2cos62sin3cos,sin22xy3cos,()sin.xy为参数解：设点M的坐标是(x,y),则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).由中点坐标公式可得因此，点M的轨迹的参数方程是例题33(12cos)(22sin)156cos2sin5210cos()(tan)3Sxy所以maxmin5210,5210SS4)2()1(22yxyxS3例3：已知x、y满足,求的最大值和最小值．12cos,()22sin.xy为参数解：由已知圆的参数方程为例题参数方程和普通方程的互化把它化为我们熟悉的普通方程，有cosθ=x-3,sinθ=y;于是𝑥−32+𝑦2=1轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆3cos,()sin.xy为参数在例1中，由参数方程直接判断点M的轨迹是什么并不容易。一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.把参数方程化为普通方程：导入新课（1）参数方程通过消元（代入消元、加减消元、利用三角恒等式消元等）消去参数化为普通方程。如：①参数方程.sin,cosrbyrax消去参数可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2..42,tytx②参数方程（t为参数）可得普通方程y=2x-4通过代入消元法消去参数t,（x≥0）。注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.1()12tytx=t(1)为参数sincos().1sin2yx=(2)为参数例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？11tx解:(1)由1xt得ty21代入)1(32xxy得到这是以（1，1）为端点的一条射线；)4sin(2cossin)2(x2,2x2,2x所以2sin1cossinyx平方后减去把yx2得到例题sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1)(x-2)2+y2=9(2)y=1-2x2（-1≤x≤1）(3)x2-y=2（x≥2或x≤-2）练习、将下列参数方程化为普通方程：步骤：（1）消参；（2）求定义域。例题)20()sin1(21|,2sin2cos|yxB例2求参数方程表示（）（A）双曲线的一支,这支过点（1,1/2）;（B）抛物线的一部分,这部分过（1,1/2）;（C）双曲线的一支,这支过点（–1,1/2);（D）抛物线的一部分,这部分过（–1,1/2).例题例、将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步骤：（1）消参；（2）注意取值范围。参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数2.三角法：利用三角恒等式消去参数3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,整体上消去化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。小结