3参数估计

参数估计主要内容：1.参数的点估计2.参数的区间估计参数估计•假设总体的分布类型已知，但其所含的某些参数未知(如0-1分布的参数p，泊松分布的参数λ，指数分布的参数λ，正态分布的参数a,σ2),利用样本资料,对这些未知参数进行估计称为参数估计.•参数估计又分为点估计和区间估计.点估计•点估计的两种主要方法：矩估计法和极大似然估计法•1.矩估计法：用样本的矩估计总体的矩即令E(Xk)＝Mk•优点：（1）方法简单；（2）对大样本精度高.•缺点：对小样本精度低点估计－矩估计法方法：用样本的矩估计总体的矩几个例题：(0-1)分布中的p指数分布中的λ正态分布a和σ2课本P49，2题点估计－极大似然估计法•极大似然估计法引例：已知某人射击命中率可能是0.2或0.8，为确定究竟是多少，让他射击10发子弹，结果命中3发，问由此对他的命中率作如何推断？•若命中率为0.2，则10发中3发的概率为0.2；若命中率为0.8，则10发中3发的概率为0.0008点估计－极大似然估计法•2.极大似然估计法•（1）写出总体X的分布律或密度函数f(x,θ)•（2）写出似然函数•（3）对似然函数取对数•（4）对求导得似然方程•（5）解似然方程，得极大似然估计量11(,,,)(,)nniiLxxfx),,,(ln1nxxL),,,(ln1nxxL),,(ˆˆ1nXX极大似然估计法例题例1：设总体X~(0-1)分布,求p的极大似然估计.解：总体X的分布律似然函数取对数求导得似然方程解得极大似然估计量11()(1)(1)iinxxnxnnxiLppppp1()(1),0,1xxPXxppxln()ln()ln(1)Lpnxpnnxp01nxnnxppˆpX极大似然估计法例题•例2：求正态总体a和σ2的极大似然估计.解：总体X的密度函数似然函数取对数似然方程解得极大似然估计量2221()()exp{}22xafx2222211(,)(2)exp{()}2nniiLaxa222211ln(,)ln(2)()22niinLaxa221222241ln(,)1()0ln(,)1()022niiniiLaxaaLanxa22ˆˆ,aXS极大似然估计法例题•极大似然估计法例题课本P49，2题点估计3.估计量好坏的评价标准（1）无偏性（2）有效性（3）一致性)ˆ(E)ˆ()ˆ(21DDpˆ举例说明如下：12312,,23XXXXXX2211()1niiSXXn2211()niiSXXn区间估计•1.区间估计的由来：分析点估计的优点和缺点区间估计•2.置信区间的概念：设总体X的分布函数含有未知参数θ，对于给定值α，若由样本X1,X2,···,Xn确定的两个统计量θ1和θ2,满足P(θ1θθ2)=1-α,则称区间(θ1，θ2)为置信度为1-α的置信区间置信区间的求法•3.单正态总体均值a的区间估计假设总体X～N(a,σ2)（1）σ＝σ0已知时a的置信区间为（2）σ未知时a的置信区间为12((1))1SXtnn012()Xun置信区间的求法•4.单正态总体方差σ2的区间估计2222122221122122(1)(1),(1)(1)()(),(1)(1)nniiiinSnSnnXXXXornn区间估计例题•5.例题：例1：从一批螺钉中随机抽取16枚，测得其长度分别为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11，设螺钉长度X～N(a,σ2).求a的置信度为0.90的置信区间：（1）如果已知σ＝0.01（2）如果σ未知区间估计例题解：（1）σ＝0.01已知，a的置信度为1-α的置信区间为又（2）σ未知，a的置信度为1-α的置信区间为又12((1))1SXtnn120.01()Xun12?,16,0.1,1.645Xnu12?,?16,0.1,(1)?XSntn区间估计例题•例2：从自动机床加工的同类产品中随机抽取16件，测得长度值为：12.50，12.12，12.01，12.28，12.09，12.16，12.03，12.01，12.06，12.13，12.07，12.11，12.08，12.01，12.03，12.06，设产品长度X～N(a,σ2).求σ2的置信区间（α＝0.05）区间估计例题解：σ2的置信区间为221122122()(),(1)(1)nniiiiXXXXnn由已知2122122()?160.05,(1)?,(1)?niiXXnnn