高考必考题突破讲座5

状元桥优质课堂高考必考题突破讲座(五)圆锥曲线的综合问题高考总复习·数学（文科）目录高考必考题突破讲座返回目录题型特点考情分析命题趋势圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主，这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现.2018·全国卷Ⅰ，202018·全国卷Ⅱ，202018·全国卷Ⅲ，202018·浙江卷，212018·北京卷，20圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点，也是一大难点．命题的热点主要有四个方面：一是直线和圆锥曲线的位置关系中的基本运算；二是最值与范围问题；三是定点与定值问题；四是有关探究性的问题．命题多与函数、方程、不等式、数列、向量等多种知识综合，考查考生的各种数学思想与技能，因此也是高考的难点.分值：12～14分返回目录题型一圆锥曲线中的最值问题1．圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．2．最值问题的两类解法技巧(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．返回目录【例1】(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A－12，14，B32，94，抛物线上的点P(x，y)－12＜x＜32.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．返回目录解析(1)设直线AP的斜率为k，则k＝x2－14x＋12＝x－12.因为－12x32，所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．返回目录(2)联立直线AP与BQ的方程可得kx－y＋12k＋14＝0，x＋ky－94k－32＝0，解得点Q的横坐标xQ＝－k2＋4k＋32k2＋1.因为|PA|＝1＋k2x＋12＝1＋k2(k＋1)，|PQ|＝1＋k2(xQ－x)＝－k－1k＋12k2＋1，所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.返回目录令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3＝－k4－2k3＋2k＋1，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间－1，12上单调递增，在区间12，1上单调递减．因此当k＝12时，|PA|·|PQ|取得最大值2716.返回目录素养解读本例问题(1)中用x表示k考查了数学建模的核心素养，第(2)问将最值问题转化成函数的最值进行处理，分别考查了数学运算和数学建模的核心素养．返回目录【突破训练1】已知动圆过定点(2,0)，且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为H，点E(m,0)(m＞0)为一个定点，过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线交H于点A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．(1)求轨迹H的方程；(2)若m＝1，且过点E的两条直线相互垂直，求△EMN面积的最小值．返回目录解析(1)设动圆圆心的坐标为(x，y)，由题意可以得到x－22＋y2＝x2＋4，化简得y2＝4x，所以动圆圆心的轨迹H的方程为y2＝4x.(2)当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，因为k1k2＝－1，所以AB⊥CD.设直线AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝k1x－1，y2＝4x得k1y2－4y－4k1＝0，则y1＋y2＝4k1，y1y2＝－4，x1＋x2＝y1＋y2k1＋2＝4k21＋2.返回目录因为Mx1＋x22，y1＋y22，所以M2k21＋1，2k1.同理，可得N(2k21＋1，－2k1)．所以S△EMN＝12|EM|·|EN|＝122k212＋2k12·2k212＋－2k12＝2k21＋1k21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k21＝1k21，即k1＝±1时，△EMN的面积取最小值4.返回目录题型二圆锥曲线中的定点与定值问题1．定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．2．圆锥曲线中定点、定值问题的解法(1)定点问题的常见解法①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．返回目录(2)定值问题的常见解法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．返回目录【例2】(2018·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，QM→＝λQO→，QN→＝μQO→，求证：1λ＋1μ为定值．返回目录解析(1)因为抛物线y2＝2px经过点P(1,2)，所以4＝2p，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．由y2＝4x，y＝kx＋1得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＞0，解得k＜0或0＜k＜1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2)，从而k≠－3.所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．返回目录(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由(1)知x1＋x2＝－2k－4k2，x1x2＝1k2.直线PA的方程为y－2＝y1－2x1－1(x－1)．令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝－y1＋2x1－1＋2＝－kx1＋1x1－1＋2.同理得点N的纵坐标为yN＝－kx2＋1x2－1＋2.由QM→＝λQO→，QN→＝μQO→返回目录得λ＝1－yM，μ＝1－yN.所以1λ＋1μ＝11－yM＋11－yN＝x1－1k－1x1＋x2－1k－1x2＝1k－1·2x1x2－x1＋x2x1x2＝1k－1·2k2＋2k－4k21k2＝2.所以1λ＋1μ为定值．返回目录素养解读本例考查了直线与抛物线的相交和平面向量的应用，综合性较强，解答中不仅要结合图象考虑它们相交的情况，还要考虑直线不过点(1，－2)这一条件，计算也比较复杂，因而它综合考查了逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养．返回目录【突破训练2】已知点Q是圆M：(x＋5)2＋y2＝36上的动点，点N(5，0)，若线段QN的垂直平分线交MQ于点P.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A是轨迹E的左顶点，过点(－3,8)的直线与轨迹E交于B，C两点．求证：直线AB，AC的斜率之和为定值．解析(1)由线段QN的垂直平分线交MQ于点P，得|PN|＝|PQ|，那么|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PQ|＝6＞|MN|，所以动点P的轨迹E是以N，M为焦点，以6为长轴长的椭圆，即2c＝25，2a＝6，所以c＝5，a＝3，b2＝9－5＝4，故动点P的轨迹E的方程为x29＋y24＝1.返回目录(2)证明：由(1)知A(－3,0)，由题意可知直线BC的斜率存在且不为0，故可设直线BC的方程为y＝kx＋m(k≠0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)．由y＝kx＋m，x29＋y24＝1得(4＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－36＝0，则返回目录Δ＝18km2－44＋9k29m2－36＝1449k2－m2＋4，x1＋x2＝－18km4＋9k2，x1x2＝9m2－364＋9k2，而kAB＋kAC＝y1x1＋3＋y2x2＋3＝y1x2＋3＋y2x1＋3x1＋3x2＋3＝2kx1x2＋3k＋mx1＋x2＋6mx1x2＋3x1＋x2＋9返回目录＝2k·9m2－364＋9k2＋3k＋m－18km4＋9k2＋6m9m2－364＋9k2＋3－18km4＋9k2＋9＝83m－3k.由于直线BC过点(－3,8)，所以－3k＋m＝8.于是kAB＋kAC＝13.故直线AB，AC的斜率之和为定值13.返回目录【例3】已知椭圆C：x2a2＋y2＝1(a＞0)，过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2＋y2＝23相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点．返回目录解析(1)因为直线过点(a,0)和(0,1)，所以直线的方程为x＋ay－a＝0，因为直线与圆x2＋y2＝23相切，所以|－a|1＋a2＝63，解得a2＝2，所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，由k1＋k2＝2得y0－1x0＋－y0－1x0＝2，解得x0＝－1.当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋m(m≠1)，返回目录A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x22＋y2＝1，y＝kx＋m⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，得x1＋x2＝－4km1＋2k2，x1·x2＝2m2－21＋2k2，由k1＋k2＝2⇒y1－1x1＋y2－1x2＝2⇒kx2＋m－1x1＋kx1＋m－1x2x1x2＝2，即(2－2k)x1x2＝(m－1)·(x1＋x2)⇒(2－2k)(2m2－2)＝(m－1)(－4km)，即(1－k)(m2－1)＝－km(m－1)，由m≠1得(1－k)(m＋1)＝－km⇒k＝m＋1，返回目录即y＝kx＋m＝(m＋1)x＋m⇒m(x＋1)＝y－x，故直线AB过定点(－1，－1)．综上，直线AB过定点(－1，－1)．返回目录素养解读本例问题(1)中用直接法求解椭圆方程考查了数学运算的核心素养；本例问题(2)中分类讨论斜率存在与不存在两种情况，再利用相应公式计算求解考查了逻辑推理和数学运算的核心素养．返回目录【突破训练3】已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－12，求证：直线AB过x轴上一定点．解析(1)因为抛物线y2＝2px(p0)的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.返回目录(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，设At24，t，Bt24，－t.因为直线OA，OB的斜率之积为－12，所以tt24·－tt24＝－12，化简得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.返回目录②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得y2＝4x，y＝kx＋b，化简得ky2－4y＋4b＝0.根据根与系数的关系得y1y2＝4bk，因为直线OA，OB的斜率之积为－12，所以y1x1·y2x2＝－12，即x1x2＋2y1y2＝0，即y214·y224＋2y1y2＝0，解得y1y2＝0(舍去)或y1y2＝－32.返回目录所以y1y2＝4bk＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k＝k(x－8)．综上所述，直线AB过定点(8,0)．返回目录题型三圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线的有关几何量的取值范围问题一直是高考的热点，解决这类问