中考数学专项练习试题：反比例函数图象、性质及其应用

一、选择题1.（2019山东滨州，12，3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为12，则k的值为（）A．6B．5C．4D．3【答案】C【思路分析】连接AC，由菱形的性质得出D是AC的中点，用字母分别表示A和C的坐标，利用中点公式表示出点D的坐标，在由点C和点D都在反比例函数的图象上，代入坐标求出k的值．【解题过程】如图，连接AC，∵四边形OABC是菱形，∴AC经过点D，且D是AC的中点．设点A的坐标为（a，0），点C坐标为（b，c），则点D坐标为（2ab+，2c）．∵点C和点D都在反比例函数y=kx的图象上，∴bc=2ab+×2c，∴a=3b；∵菱形的面积为12，∴ac=12，∴3bc=12，bc=4，即k=4．故选C．法2：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），则，点D的坐标为（），∴，解得，k＝4，故选C．【知识点】菱形的性质；反比例函数k的几何意义2.（2019江苏省无锡市，9，3）如图，已知A为反比例函数kyx=（x0）的图像上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B.若△OAB的面积为2，则k的值为（）A.2B.-2C.4D.-4xyxyO-6OOOBCAABBAPEF【答案】D【思路分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，根据k的几何意义直接求k.【解题过程】如图，∵AB⊥y轴，S△OAB＝2，而S△OAB12|k|，∴12|k|＝2，∵k＜0，∴k＝﹣4．故选D．【知识点】反比例函数性质3.（2019山东省济宁市，9，3分）如图，点A的坐标是(－2，0)，点B的坐标是(0，6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A'BC'．若反比例函数y＝kx的图象恰好经过A'B的中点D，则k的值是（）A．9B．12C．15D．18xyDA'C'CBAO【答案】C【思路分析】中点公式表示AB的中点，旋转求D得坐标，最后由一点求反比例函数k【解题过程】取AB的中点（－1，3），旋转后D（3，5）∴k＝3×5＝15，选C【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的图象和性质．4.(2019山东枣庄,9,3分)如图,在平面直角坐标系中等腰直角三角形ABC的顶点A,B分别在x轴,y轴的正半轴上,∠ABC＝90°,CA⊥x轴,点C在函数kyx(x0)的图象上,若AB＝1,则k的值为A.1B.22C.2D.2第9题图【答案】A【解析】在等腰直角三角形ABC中,AB＝1,∴AC＝2,∵CA⊥x轴,∴yC＝2,Rt△ABC中,∠BAC＝45°,CA⊥x轴,∴∠BAO＝45°,∴∠ABO＝45°,∴△ABO是等腰直角三角形,∴OA＝22,∴xC＝22,k＝xC`yC＝1,故选A【知识点】等腰直角三角形,反比例函数5.（2019山东淄博，12，4分）如图，11122233,,,OABAABAAB…是分别以123,,,AAA…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点111222333(,),(,),(,),CxyCxyCxy…均在反比例函数4yx（x＞0）的图象上，则12100yyy的值为（）A.210B.6C.42D.27【答案】20【思路分析】根据△OC1A1是等腰直角三角形，过点C1作C1M⊥x轴，则C1M＝OM＝MA1，所以可设C1的坐标是（a，a），把（a，a）代入解析式得到a＝2，从而求出A1的坐标是（4，0），再根据△C2A1A2是等腰直角三角形，设C2的纵坐标是b，则C2的横坐标是4＋b，把（4＋b，b）代入函数解析式得到b的值，故可得出C2的纵坐标y2，同理可以得到C3的纵坐标，…C100的纵坐标，根据规律可以求出y1＋y2＋…＋y100．【解题过程】如图，过点C1作C1M⊥x轴，∵△OC1A1是等腰直角三角形，∴C1M＝OM＝MA1，设C1的坐标是（a，a）（a＞0），，把（a，a）代入解析式4yx（a＞0）中，得a＝2，∴y1＝2,∴A1的坐标是（4，0），又∵△C2A1A2是等腰直角三角形，∴设C2的纵坐标是b（b＞0），则C2的横坐标是4＋b，把（4＋b，b）代入函数解析式得b＝44b，解得b＝22﹣2，∴y2＝22﹣2，∴A2的坐标是（42，0），设C3的纵坐标是c（c＞0），则C3横坐标为42＋c，把（42＋c，c）代入函数解析式得c＝442c，解得c＝23﹣22，∴y3＝23﹣22.∵y1＝21﹣20，y2＝22﹣21，y3＝23﹣22，…∴y100＝2100﹣299，∴y1＋y2＋y3＋…＋y100＝2＋22﹣2＋2﹣22＋…＋2100﹣299＝2100＝20.【知识点】规律探究问题，反比例函数图象和性质，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，二次根式的计算6.（2019四川省凉山市，8，4）如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=x4的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（▲）A.8B.6C.4D.2第8题图【答案】C【思路分析】根据点A在反比例函数图像上假设点A坐标，利用对称性求出C的坐标，最后求得△ABC的面积.【解题过程】设A点的坐标为（m，4m），则C点的坐标为（-m，-4m），∴1414422ABCOBCOABSSSmmmm，故选C.【知识点】正比例函数与反比例函数图像的对称性；三角形的面积7.（2019天津市，10，3分）若点A(-3，y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数xy12的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是(A)y2y1y3(B)y3y1y2(C)y1y2y3(D)y3y2y1【答案】B【解析】因为反比例函数xy12的图像在二四象限，如图，将A,B,C三点在图像上表示，答案为B【知识点】反比例函数图像的性质.8.(2019浙江台州,9题,4分)已知某函数的图象C与函数3yx的图象关于直线y＝2对称.下列命题:①图象C与函数3yx的图象交于点(32,2);②点(12,－2)在图象C上;③图象C上的点的纵坐标都小于4;④A(x1,y1),B(x2,y2)是图象C上任意两点,若x1x2,则y1y2.其中真命题是()A.①②B.①③④C.②③④D.①②③④【答案】A【解析】令y＝2,得x＝32,这个点在直线y＝2上,∴也在图象C上,故①正确;令x＝12,得y＝6,点(12,6)关于直线y＝2的对称点为(12,－2),∴点(12,－2)在图象C上,②正确;经过对称变换,图象C也是类似双曲线的形状,没有最大值和最小值,故③错误;在同一支上,满足x1x2,则y1y2,但是没有限制时,不能保证上述结论正确,故④错误.综上所述,选A.【知识点】反比例函数图象的性质,对称变换,交点坐标,增减性9.（2019重庆市B卷，9，4）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10,0），sin∠COA=45.若反比例函数y=kx(k﹥0,x﹥0)经过点C，则k的值等于（）9题图xyCOAB【答案】C【思路分析】根据菱形的性质得出OC=OA=10.过点C作CD⊥OA.由sin∠COA=45可得OD=6，CD=8∴C（6,8）根据发反比例函数图像过点C，求出k=48【解题过程】解：过C作CD⊥OA交x轴于D∵OABC为菱形，A（10,0）∴OC=OA=10.∵sin∠COA=45∴CDOC=45即10CD=45∴CD=8,∴OC=6,∴C（6,8）∵反比例函数y=kx(k﹥0,x﹥0)经过点C,k=6×8=48.故选Ｃ．yxDCOAB【知识点作】反比例函数图像上点的特征；菱形的性质；锐角三角函\数10.（2019重庆A卷，9，4）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0)的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（）A．16B．20C．32D．40yxOEDCBA第9题图【答案】B．【解析】如答图，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠AFB＝∠DOA＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴ED＝EB，∠DAB＝90°．∴∠OAD＋∠BAF＝∠BAF＋∠ABF＝90°．∴∠OAD＝∠FBA．∴△AOD∽△BFA．∴OAODBFAF．∵BD∥x轴，A（2，0），D（0，4），∴OA＝2，OD＝4＝BF．∴244AF．∴AF＝8．∴OF＝10，E(5，4)．∵双曲线y＝kx过点E，∴k＝5×4＝20．故选B．【知识点】反比例函数；矩形的性质；相似三角形的判定与性质11.（2019安徽省，5，4分）已知点(1,3)A关于x的对称点A在反比例函数kyx的图象上，则实数k的值为()A．3B．13C．3D．13【答案】A【解析】解：点(1,3)A关于x轴的对称点A的坐标为(1,3)，把(1,3)A代入kyx得133k，故选B．【知识点】反比例函数的系数12.（2019广东广州，8，3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，第9题答图FyxOEDCBAy2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y3【答案】C【解析】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，∴y16，y23，y32，又∵﹣6＜2＜3，∴y1＜y3＜y2．故选：C．【知识点】反比例函数的图象13.（2019贵州黔东南，9，4分）若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2【答案】C【解析】解：∵点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y的图象上，∴y1，y2，y3，又∵，∴y3＜y1＜y2．故选：C．【知识点】反比例函数的图象14.（2019湖北鄂州，8，3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y（k为常数，且k≠0）的图象大致是（）【答案】C【解析】解：∵函数y＝﹣x+k与y（k为常数，且k≠0），∴当k＞0时，y＝﹣x+k经过第一、二、四象限，y经过第一、三象限，故选项A、B错误，当k＜0时，y＝﹣x+k经过第二、三、四象限，y经过第二、四象限，故选项C正确，选项D错误，故选：C．【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象15.（2019江苏宿迁，8，3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数y（x＞0）的图象上，则的值为（）A．B．C．2D．【答案】A【解析】解：设D（m，），B（t，0），∵M点为菱形对角线的交点，∴BD⊥AC，AM＝CM，BM＝DM，∴M（，），把M（，）代入y得•k，∴t＝3m，∵四边形ABCD为菱形，∴OD＝AB＝t，∴m2+（）2＝（3m）2，解得k＝2m2，∴M（2m，m），在Rt△ABM中，tan∠MAB，∴．故选：A．【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的图象；菱形的性质16.（2019江苏扬州，8，3分）若反比例函数2yx的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数yxm的图象上，则m的取值范围是()A．22mB．22mC．22m或22mD．2222m【答案】C【解析】解：反比例函数2yx的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点在反比例函数2yx的图象上，解方程组2yxyxm得220xmx，2yx的图象与一次函数yxm有两个不同的交点，方程220xmx有两个不同的实数根，△280m，22m或22m，故选：C．