第2节-函数的单调性与最值

INNOVATIVEDESIGN第二章第2节函数的单调性与最值考纲要求2会运用基本初等函数的图象分析函数的性质1理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实1夯实基础回扣知识索引(1)单调函数的定义知识梳理///////1.函数的单调性增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2定义当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)索引(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的减函数索引2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x)≥M索引1.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数.2.函数y＝f(x)(f(x)0或f(x)0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f（x）的单调性相反.3.“对勾函数”y＝x＋ax(a0)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，(0，a].索引1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)f(3)，则f(x)为增函数.()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()诊断自测///////(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()√×××索引解析(2)此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).(3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝x，在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞).索引2.下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A.y＝1x－xB.y＝x2－xC.y＝lnx－xD.y＝exA解析易知A中y＝1x－x在(0，＋∞)内是减函数，B，C中函数y＝x2－x与y＝lnx－x在(0，＋∞)内不单调，D中y＝ex在(0，＋∞)内是增函数.索引3.函数y＝xx－1在区间[2，3]上的最大值是________.2解析函数y＝xx－1＝1＋1x－1在[2，3]上递减，当x＝2时，y＝xx－1取得最大值22－1＝2.索引4.(2021·长沙检测)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)解析由x2－2x－80，得x4或x－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数.要求函数f(x)的单调递增区间，即求t＝x2－2x－8的单调递增区间.∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).D索引A.是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增B.是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减C.是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增D.是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减5.(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝x3－1x3，则f(x)()A解析函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝(－x)3－1（－x）3＝－x3＋1x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.又因为y＝x3在(0，＋∞)单调递增，所以y＝－1x3在(0，＋∞)也单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增.索引6.(2020·郑州检测)函数f(x)＝9x2＋x－1的最小值为________.解析∵f(x)的定义域为[1，＋∞)，且y＝9x2与y＝x－1在[1，＋∞)内均为增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9.9考点分层突破题型剖析考点聚焦2索引考点一确定函数的单调性(区间)///////自主演练1.(2019·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A.y＝x12B.y＝2－xC.y＝log12xD.y＝1x解析由图象知，只有y＝x12在(0，＋∞)上单调递增.故选A.A索引2.函数y＝log12(－x2＋x＋6)的单调递增区间为()A.12，3B.－2，12C.(－2，3)D.12，＋∞解析由－x2＋x＋60，得－2x3，故函数的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝log12t，易知其为减函数.则本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质，得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为12，3，故选A.A索引3.(2021·全国百校联考)下列函数的图象既关于直线x＝1对称，又在区间[－1，0]上为增函数的是()A.y＝sinπxB.y＝|x－1|C.y＝cosπxD.y＝ex＋e－x解析A中，当x＝1时，y＝sinπ＝0≠±1，所以y＝sinπx不关于直线x＝1对称，则A错误.B中，y＝|x－1|＝x－1，x≥1，－x＋1，x1，在区间[－1，0]上为减函数，则B错误.D中，y＝f(x)＝ex＋e－x，则f(0)＝2，f(2)＝e2＋e－2，则f(0)≠f(2)，所以y＝ex＋e－x不关于直线x＝1对称，则D错误.C索引函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的递减区间是[0，1).4.设函数f(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________.[0，1)解析由题意知g(x)＝x2，x1，0，x＝1，－x2，x1，索引感悟升华1.函数单调性的判断方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法.2.函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.索引考点二求函数的最值///////师生共研【例1】(1)函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.3解析由于y＝13x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.索引解析法一在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.(2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，ab.设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.1索引当0x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，当x2时，h(x)＝3－x是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.法二依题意，h(x)＝log2x，0x≤2，－x＋3，x2.索引感悟升华1.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.索引【训练1】(1)已知1≤x≤5，则下列函数中，最小值为4的是()A.y＝4x＋1xB.y＝x＋4x＋1C.y＝－x2＋2x＋3D.y＝5＋lnx－1xD解析函数y＝4x＋1x在[1，5]上递增，所以4x＋1x≥5，A不符合题意；因为x≥1，所以y＝x＋4x＋1＝x＋1＋4x＋1－1≥4－1＝3(当且仅当x＝1时取等号)，故其最小值不为4，B不符合题意；y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其最大值为4(当x＝1时取得)，最小值是f(5)＝－12，C不符合题意.易知函数y＝5＋lnx－1x在(0，＋∞)上递增，所以在区间[1，5]上也是增函数，其最小值为f(1)＝5＋ln1－11＝4，D符合题意.索引(2)设函数f(x)＝x2，x≤1，x＋6x－6，x1，则f(x)的最小值是________.26－6解析当x≤1时，f(x)＝x2的最小值为0，当x1时，f(x)＝x＋6x－6≥26－6(当且仅当x＝6时，取“＝”).由于26－60，所以f(x)min＝26－6.索引∴f(40.7)f(21.3)f(log38)，即bac.考点三函数单调性的应用///////多维探究角度1利用单调性比较大小【例2】(1)(2020·柳州模拟)已知函数f(x)＝1ex＋1－12，若a＝f(21.3)，b＝f(40.7)，c＝f(log38)，则a，b，c的大小关系为()A.cabB.acbC.bacD.abcC解析函数f(x)＝1ex＋1－12是R上的减函数，又log38221.321.4＝40.7，索引解析由f(－x)－f(x)＝0，知f(x)是偶函数，(2)(2021·福州质检)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且当x≥0时，f(x)＝x－2－x，设a＝f(－31.2)，b＝f(3－0.2)，c＝f(log30.2)，则()A.cbaB.abcC.cabD.acbD易知f(x)＝x－2－x在[0，＋∞)上单调递增.因为a＝f(－31.2)＝f(31.2)，c＝f(log30.2)＝flog315＝f(－log35)＝f(log35)，且31.23，1＝log33log35log327＝3，03－0.21，即31.2log353－0.20，所以f(31.2)f(log35)f(3－0.2)，即acb.索引角度2求解函数不等式【例3】(1)已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)2，则实数x的取值范围是________________________.(－5，－2)∪(2，5)解析因为函数f(x)＝lnx＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln1＋2＝2，所以由f(x2－4)2得，f(x2－4)f(1)，所以0x2－41，解得－5x－2或2x5.索引(2)(2020·东北三省三校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，若不等式f(ax＋2)≤f(－1)对于任意x∈[1，2]恒成立，则a的最大值为________.解析由于f(x)满足f(x)＝f(－x)，可知f(x)的图象关于y轴对称，∵f(x)在(－∞，0]上单调递减，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增.根据f(x)的图象特征可得－1≤ax＋2≤1在[1，2]上恒成立，－1得－3x≤a≤－1x在[1，2]上恒成立，所以－32≤a≤－1，故a的最大值为－1.索引角度3求参数的值或取值范围解析易知f(x)在(－∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增，且x2时，22－x22－2＝1，∴f(x)min＝f(2)＝1，又a≤f(x)≤b的解集恰好为[a，b].∴必然有a≤1，此