第5节-指数与指数函数

INNOVATIVEDESIGN第二章第5节指数与指数函数考纲要求2理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算34体会指数函数是一类重要的函数模型1了解指数函数模型的实际背景理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实1夯实基础回扣知识索引知识梳理///////1.根式的概念及性质(1)概念：式子na叫做，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.根式索引2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a＝(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂.nam1nam没有意义索引3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：aras＝；(ar)s＝；(ab)r＝，其中a0，b0，r，s∈R.ar＋sarsarbr4.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.索引(2)指数函数的图象与性质a10a1图象定义域R值域____________过定点，即x＝0时，y＝1当x0时，；当x0时，当x0时，；当x0时，性质在(－∞，＋∞)上是在(－∞，＋∞)上是(0，＋∞)(0，1)y10y1y10y1增函数减函数索引2.指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究.3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象越高，底数越大.1.画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.索引诊断自测///////1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(3)函数y＝2x－1是指数函数.()(4)函数y＝ax2＋1(a1)的值域是(0，＋∞).()(1)4（－4）4＝－4.()(2)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘.()××××索引(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错误.(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错误.解析(1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错误.(2)当mn1时，不可以，故(2)错误.索引2.若函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图象经过2，13，则f(－1)＝()A.1B.2C.3D.3C解析依题意可知a2＝13，解得a＝33，所以f(x)＝33x，所以f(－1)＝33－1＝3.索引3.已知a＝35－13，b＝35－14，c＝32－34，则a，b，c的大小关系是________.cba解析∵y＝35x是R上的减函数，∴35－1335－14350，即ab1，又c＝32－34320＝1，∴cba.索引4.(2021·昆明诊断)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()解析易知f(x)为偶函数，且f(x)＝1－e|x|≤0，A正确.A索引5.(2020·合肥冲刺)若0ba1，则ab，ba，aa，bb中最大的是()A.abB.baC.aaD.bb解析∵0ba1，∴指数函数y＝ax和y＝bx均为减函数，∴abaa，babb，∵幂函数y＝xb在(0，＋∞)上为增函数，∴abbb，即ab，ba，aa，bb中最大的是ab.A索引6.(2021·贵阳一中月考)计算：32－13×－760＋814×42－－2323________.2解析原式＝2313×1＋234×214－2313＝2.考点分层突破题型剖析考点聚焦2索引考点一指数幂的运算///////自主演练1.[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________.0解析原式＝64100015－5223－27813－1＝410315×－52×23－32313－1＝52－32－1＝0.索引2.已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝________.解析∵f(a)＝2a＋2－a＝3.∴f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝32－2＝7.7索引3.(2021·沧州七校联考)14－12·（4ab－1）3（0.1）－1·（a3·b－3）12(a0，b0)＝________.85解析原式＝2·432a32b－3210a32b－32＝85.索引4.已知常数a0，函数f(x)＝2x2x＋ax的图象经过点Pp，65，Qq，－15.若2p＋q＝36pq，则a＝________.6解析因为f(x)＝2x2x＋ax＝11＋ax2x，且其图象经过点P，Q，则f(p)＝11＋ap2p＝65，即ap2p＝－16，①f(q)＝11＋aq2q＝－15，即aq2q＝－6，②①×②得a2pq2p＋q＝1，则2p＋q＝a2pq＝36pq，所以a2＝36，解得a＝±6，因为a0，所以a＝6.索引感悟升华1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.索引【例1】(1)已知实数a，b满足等式2020a＝2021b，下列五个关系式：①0ba；②ab0；③0ab；④ba0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A.1个B.2个C.3个D.4个考点二指数函数的图象及应用///////师生共研B解析如图，观察易知a，b的关系为ab0或0ba或a＝b＝0.索引(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.∴b的取值范围是(0，2).(0，2)索引感悟升华1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.索引【训练1】(1)(2020·长沙检测)函数y＝ax－1a(a0，且a≠1)的图象可能是()D解析当a1时，y＝ax－1a为增函数，且在y轴上的截距为01－1a1，此时四个选项均不对；当0a1时，函数y＝ax－1a是减函数，且其图象可视为是由函数y＝ax的图象向下平移1a1a1个单位长度得到，选项D适合.索引(2)如果函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是_____________.解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|3x－1|与y＝－m的图象，如图所示.由函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则y＝|3x－1|与y＝－m在第二象限没有交点，由图象知－m≥1，即m≤－1.(－∞，－1]索引角度1比较指数式的大小考点三解决与指数函数性质有关的问题///////多维探究【例2】(1)(2020·天津卷)设a＝30.7，b＝13－0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为()A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜bD解析因为a＝30.7＞30＝1，b＝13－0.8＝30.8＞30.7，c＝log0.70.8＜log0.70.7＝1，所以b＞a＞c.故选D.索引(2)已知f(x)＝2x－2－x，a＝79－14，b＝9715，则f(a)，f(b)的大小关系是________.f(a)f(b)解析∵a＝79－14＝97149715＝b0，又函数f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，∴f(a)f(b).索引角度2解简单的指数方程或不等式【例3】(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝4x，x≥0，2a－x，x0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______.12解析当a1时，41－a＝21，解得a＝12；当a1时，2a－(1－a)＝4a－1无解，故a的值为12.索引(2)设函数f(x)＝12x－7，x0，x，x≥0，若f(a)1，则实数a的取值范围是________.(－3，1)解析当a0时，原不等式化为12a－71，则2－a8，解得a－3，所以－3a0.当a≥0时，则a1，0≤a1.综上，实数a的取值范围是(－3，1).索引角度3指数函数性质的综合应用【例4】(1)函数y＝14x－12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.34，57解析因为x∈[－3，2]，所以若令t＝12x，则t∈14，8，故y＝t2－t＋1＝t－122＋34.当t＝12时，ymin＝34；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数值域为34，57.索引解析由题意知f(x)是奇函数，且在R上为减函数，则f(t2－2t)＋f(2t2－1)0，即f(t2－2t)－f(2t2－1)＝f(1－2t2).(2)已知定义域为R的函数f(x)＝－12＋12x＋1，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)0的解集为______________________.－∞，－13∪(1，＋∞)所以t2－2t1－2t2，解得t1或t－13.索引感悟升华1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.索引易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.索引【训练2】(1)(2021·郑州调研)已知函数f(x)＝4x－12x，a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log0.32)，则a，b，c的大小关系为()A.cbaB.bacC.bcaD.cabA解析因为f(x)＝4x－12x＝2x－2－x，定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，故函数f(x)是奇函数，又y＝2x在定义域上单调递增，y＝2－x在定义域上单调递减，所以f(x)＝2x－2－x在定义域上单调递增，由20.31，00.20.31，log0.320，可得f(20.3)f(0.20.3)f(log0.32)，则abc.索引解析∵y＝