第8节-函数与方程

INNOVATIVEDESIGN第二章第8节函数与方程考纲要求结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实1夯实基础回扣知识索引知识梳理///////1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有.(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②.则函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.f(x)＝0零点f(a)·f(b)0索引2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点无交点零点个数210(x1，0)，(x2，0)(x1，0)索引1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，如图所示，所以f(a)·f(b)0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.索引诊断自测///////1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝lgx的零点是(1，0).()(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点.()解析(1)f(x)＝lgx的零点是1，故(1)错误.(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.××√索引2.已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(4，5)解析由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)0，所以函数在(2，3)内有零点.x12345f(x)－4－2147B索引3.设函数f(x)＝2x，x≤0，|log2x|，x0，则使g(x)＝f(x)＝－12的零点的集合为_____________.－1，2，22解析由题意知，若x≤0，则2x＝12，解得x＝－1；若x0，则|log2x|＝12，解得x＝2或x＝22.故零点的集合为－1，2，22.索引故函数在(1，2)上有零点.4.(2020·贵阳检测)函数f(x)＝ex－1－2x＋1－1的零点所在区间是()A.(－1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)C解析f(x)＝ex－1－2x＋1－1，则f(1)＝－10，f(2)＝e－530.索引5.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为()A.2B.3C.4D.5解析由2sinx－sin2x＝0，得sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0，2π]，由sinx＝0，得x＝0，π，2π.由cosx＝1，得x＝0，2π.∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点.B索引6.(2021·唐山检测)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________.解析令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)0，即(5－k)(10－k)0，解得5k10.又当f(1)＝0时，k＝5.综上，实数k的取值范围是[5，10).[5，10)考点分层突破题型剖析考点聚焦2索引1.函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点()A.(－1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)考点一函数零点所在区间的判定///////自主演练解析f(－1)＝1e－10，f(0)＝－10，f(1)＝e－30，f(2)＝e2－40，因为f(1)·f(2)0，所以f(x)在(1，2)内存在零点.C索引∴f(1)f(2)0，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，且零点在(1，2)内.2.(2021·西安调研)函数f(x)＝log8x－13x的一个零点所在的区间是()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)B解析∵f(1)＝－130，f(2)＝log82－16＝160，索引3.若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内B.(－∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)内解析∵abc，∴f(a)＝(a－b)(a－c)0，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.A索引4.已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0且a≠1).当2a3b4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.解析对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y1，当x＝3时，可得y1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.2索引感悟升华1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断.索引法二函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.考点二确定函数零点的个数///////师生共研【例1】(1)函数f(x)＝x2＋x－2，x≤0，－1＋lnx，x0的零点个数为()A.3B.2C.1D.0B解析法一由f(x)＝0得x≤0，x2＋x－2＝0或x0，－1＋lnx＝0，解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点.索引解析由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，知周期T＝2，令f(x)－|x|＝0，得f(x)＝|x|.作出函数y＝f(x)与g(x)＝|x|的图象如图所示.由函数的图象知，y＝f(x)－|x|有两个零点.(2)(2020·兰州诊断)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝cosπ2x，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是()A.2B.3C.4D.5A索引感悟升华函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.索引【训练1】(1)(2021·桂林调研)设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是()A.4B.3C.2D.1解析易知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋x2－3，所以x≥0时，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，所以x＝1是函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的唯一零点.根据奇偶性，知x＝－1是y＝f(x)在(－∞，0)内的零点，因此y＝f(x)有两个零点.C索引解析f(x)＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin2x与y2＝x2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.(2)函数f(x)＝2sinxsinx＋π2－x2的零点个数为________.2索引角度1根据函数零点个数求参数A.(－2，2)B.(－2，1)C.(0，2)D.(1，3)考点三函数零点的应用///////多维探究【例2】已知函数f(x)＝ln（x＋1）（x≥0），x3－3x（x0），若函数y＝f(x)－k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是()C索引解析当x0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，所以x＝－1(舍去正根)，故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，又f(x)＝ln(x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的图象如图所示.当x0时，f(x)极大值＝f(－1)＝2，且f(0)＝0，故当k∈(0，2)时，y＝f(x)－k有三个不同的零点.索引角度2根据零点的范围求参数【例3】(1)设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝12x－1，若关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a1)在区间(－2，6]内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是()A.(43，48)B.(34，2)C.(43，2]D.(34，2]B索引解析∵f(x)为偶函数，故f(2－x)＝f(x－2)，∴f(x＋2)＝f(x－2)，故f(x)的周期为4，∵f(x)－loga(x＋2)＝0有3个不同的解，∵x∈[－2，0]时，f(x)＝12x－1，故f(x)在(－2，6]上的图象如图所示，∴f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象有3个不同的交点，故f（2）loga（2＋2），f（6）loga（6＋2），即3loga4，3loga8，解得413a2.索引(2)设实数a，b是关于x的方程|lgx|＝c的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是________.解析由题意知，如图，在(0，10)上，函数y＝|lgx|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以ab＝1，0clg10＝1，所以abc的取值范围是(0，1).(0，1)索引感悟升华1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合.2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.索引A.[0，e)B.(0，1)C.(0，e)D.[0，1)因此若f(x)无零点，必然有a≥0.当y＝ax与y＝ex相切时，设切点P(x0，ex0)，则a＝ex0且ex0＝ax0，∴a＝ax0，∴x0＝1，则切线斜率k＝ex0|x0＝1＝e.因此，要使曲线y＝ex与y＝ax不相交，则0≤ae.【训练2】(1)(2020·武汉质量监测)已知函数f(x)＝exx－a.若f(x)没有零点，则实数a的取值范围是()A解析由f(x)＝exx－a＝0，得ex＝ax.若a0时，显然y＝ex与y＝ax有零点，索引(2)(2021·山东实验中学模拟)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m