1-第1课时-利用空间向量求空间角

数学第6讲立体几何中的向量方法第1课时利用空间向量求空间角第八章立体几何与空间向量第八章立体几何与空间向量1返回导航下一页上一页01走进教材自主回顾02考点探究题型突破03知能提升分层演练第八章立体几何与空间向量2返回导航下一页上一页最新考纲考向预测能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.命题趋势本讲内容以几何体为载体，重点考查有关空间的线线角、线面角、二面角与空间的距离的计算问题，这仍会是高考的热点，题型多为解答题的第2问.核心素养数学运算、数学建模第八章立体几何与空间向量3返回导航下一页上一页1．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围0，π2[0，π]求法cosθ＝________cosβ＝a·b|a||b||a·b||a||b|第八章立体几何与空间向量4返回导航下一页上一页2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝______．|a·n||a||n|第八章立体几何与空间向量5返回导航下一页上一页3．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD分别是二面角α­l­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝____________．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝________________，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．〈AB→，CD→〉|cos〈n1，n2〉|第八章立体几何与空间向量6返回导航下一页上一页4．利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB→|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2.第八章立体几何与空间向量7返回导航下一页上一页(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO→|＝|AB→·n||n|.第八章立体几何与空间向量8返回导航下一页上一页常见误区1．当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角．2．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.第八章立体几何与空间向量9返回导航下一页上一页1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．()(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π]．()×××√第八章立体几何与空间向量10返回导航下一页上一页2．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°√解析：因为cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝11×2＝22，故〈m，n〉＝45°，故两平面所成的二面角为45°或135°.故选C项．第八章立体几何与空间向量11返回导航下一页上一页3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为()A．－1010B．－120C.120D.1010√第八章立体几何与空间向量12返回导航下一页上一页解析：如图建立空间直角坐标系D－xyz，设DA＝1，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E0，12，1，则AC→＝(－1，1，0)，DE→＝0，12，1，设异面直线DE与AC所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈AC→，DE→〉|＝1010.第八章立体几何与空间向量13返回导航下一页上一页4．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．解析：由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10，即2a·c＋b·c＝－10.因为a·c＝4，所以b·c＝－18，所以cos〈b，c〉＝b·c|b|·|c|＝－1812×1＋4＋4＝－12，所以〈b，c〉＝120°，所以两直线的夹角为60°.答案：60°第八章立体几何与空间向量14返回导航下一页上一页5．(易错题)已知向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为________．解析：设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝12，所以θ＝30°.答案：30°第八章立体几何与空间向量15返回导航下一页上一页异面直线所成的角√[题组练透]1．若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为3，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°第八章立体几何与空间向量16返回导航下一页上一页解析：因为正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为3，AB＝1，所以AA1＝3，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B1(1，1，3)，C(0，1，0)，D1(0，0，3)，AB1→＝(0，1，3)，CD1→＝(0，－1，3)，设直线AB1与CD1所成的角为θ，则cosθ＝|AB1→·CD1→||AB1→|·|CD1→|＝24·4＝12，又0°＜θ≤90°，所以θ＝60°，所以直线AB1与CD1所成的角为60°.故选C.第八章立体几何与空间向量17返回导航下一页上一页2．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.110B.25C.3010D.22√第八章立体几何与空间向量18返回导航下一页上一页解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝CA＝CC1＝2，则可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以BM→＝(1，－1，2)，AN→＝(－1，0，2)．所以cos〈BM→，AN→〉＝BM→·AN→|BM→||AN→|＝－1＋412＋（－1）2＋22×（－1）2＋02＋22＝36×5＝3010.第八章立体几何与空间向量19返回导航下一页上一页3．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，AF→＝λAD→，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为3210，则λ的值为________．第八章立体几何与空间向量20返回导航下一页上一页解析：以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，正方体的棱长为2，则A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0)，所以D1E→＝(0，2，－1)，A1F→＝A1A→＋AF→＝A1A→＋λAD→＝(0，0，－2)＋λ(－2，0，0)＝(－2λ，0，－2)，所以cos〈A1F→，D1E→〉＝A1F→·D1E→|A1F→|·|D1E→|＝22λ2＋1·5＝3210，解得λ＝13(λ＝－13舍去)．答案：13第八章立体几何与空间向量21返回导航下一页上一页求异面直线所成的角的两个关注点(1)用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的．(2)由于两异面直线所成角的范围是θ∈0，π2，两方向向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cosθ＝|cosα|.第八章立体几何与空间向量22返回导航下一页上一页直线与平面所成的角(2020·新高考卷Ⅰ)如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．第八章立体几何与空间向量23返回导航下一页上一页【解】(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC.因此AD⊥平面PDC.因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.第八章立体几何与空间向量24返回导航下一页上一页(2)以D为坐标原点，DA→的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，DC→＝(0，1，0)，PB→＝(1，1，－1)．由(1)可设Q(a，0，1)，则DQ→＝(a，0，1)．设n＝(x，y，z)是平面QCD的法向量，则n·DQ→＝0，n·DC→＝0，即ax＋z＝0，y＝0.可取n＝(－1，0，a)．第八章立体几何与空间向量25返回导航下一页上一页所以cos〈n，PB→〉＝n·PB→|n|·|PB→|＝－1－a3·1＋a2.设PB与平面QCD所成角为θ，则sinθ＝33×|a＋1|1＋a2＝331＋2aa2＋1.因为331＋2aa2＋1≤63，当且仅当a＝1时等号成立．所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.第八章立体几何与空间向量26返回导航下一页上一页求直线与平面所成角的方法(1)定义法：①作，在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步上确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，构造角所在的三角形，利用解三角形的知识求角．第八章立体几何与空间向量27返回导航下一页上一页(2)公式法：sinθ＝hl(其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离，l为该点到斜足的距离，θ为斜线与平面所成的角)．(3)向量法：sinθ＝|cos〈AB→，n〉|＝|AB·n||AB→||n|(其中AB为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB与平面α所成的角)．第八章立体几何与空间向量28返回导航下一页上一页(2021·石家庄模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠DAB＝60°.(1)证明：AD⊥PB；(2)若PB＝6，AB＝PA＝2，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值．第八章立体几何与空间向量29返回导航下一页上一页解：(1)证明：取AD的中点为O，连接PO，BO，BD，如图，因为底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以BO⊥AD.又PA＝PD，即△PAD是等腰三角形，所以PO⊥AD.第八章立体几何与空间向量30返回导航下一页上一页又PO∩BO＝O，所以AD⊥平面PBO，又PB⊂平面PBO，所以AD⊥PB.第八章立体几何与空间向量31返回导航下一页上一页(2)因为AB＝PA＝2，所以由(1)知△PAD，△ABD均是边长为2的正三角形，则PO＝3，BO＝3，又PB＝6，所以PO2＋BO2＝PB2，即PO⊥BO，又由(1)知，BO⊥AD，PO⊥AD，所以以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(－1，0，0)，P(0，0，3)，C(－2，3，0)，B(0，3，0)，第八章立体几何与空间向量32返回导航下一页上一页PB→＝(0，3，－3)，DP→＝(1，0，3)，CD→＝(1，－3，0)．设n＝(x，y，z)是平面PCD的法向量，则n⊥DP→，n⊥CD→，所以x＋3z＝0，x－3y＝0，令y＝1，解得x＝3，z＝－1，即n＝(3，1，－1)为平面PCD的一个法向量．第八章立体几何与空间向量33返回导航下一页上一页设直线PB与平面PDC所成的角为θ