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题型三解直角三角形的实际应用(郴州必考；衡阳4考；岳阳5考；益阳必考)类型一母子型(郴州2019.21，2018、2017、2014.22；衡阳2019.22，2017.23；岳阳2019.22；益阳2014.18)1.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长．(参考数据：3≈1.73)第1题图2.(2020原创)如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达．(结果保留根号)第2题图3.(2019潍坊)自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图①所示的坡路进行改造，如图②所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1∶3，将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4，求斜坡CD的长．(结果保留根号)第3题图4.(2019张家界)天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A－B－C路段对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°.求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？(结果精确到1米，参考数据：3≈1.732)第4题图5.(2019天水)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处(PB的长)．为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶3.(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(1)若新坡面坡角为α，求坡角α度数；(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．第5题图类型二背靠背型(郴州2016、2015.22；衡阳2018.22)1.为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果保留整数)第1题图2.(2018郴州模拟)为加强我市创建文明城市宣传力度，某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一幅宣传条幅，为测量条幅的长度，现在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为30°，条幅底端E点的俯角为45°.若甲，乙两楼间的水平距离BC为21米，求条幅的长度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果精确到0.1)第2题图3.(2019菏泽)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里．再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．(结果保留根号)第3题图4.(2019贺州)如图，在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B.求A，B间的距离(3≈1.73，2≈1.41，结果保留一位小数)．第4题图类型三实物模型(岳阳2018、2017.22，2015.20；衡阳2016.24)1.(2019甘肃省卷)如图①是放置在水平桌面上的台灯，图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°，CD可以绕点C上下调节一定的角度，使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？(参考数据：3取1.73)第1题图2.(2019常德)图①是一种沐浴喷头，图②是图①的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处沐浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm.问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)．第2题图参考答案类型一母子型1.解：由已知条件可知：△COB为等腰直角三角形，∴OB＝OC＝1500(m)，在Rt△COA中，∠ACO＝90°－60°＝30°，∴OA＝OC·tan30°＝1500×33＝5003(m)，∴AB＝OB－OA＝1500－5003≈1500－500×1.73＝635(m)．答：隧道AB的长约为635m.2.解：如解图，过点P作PC⊥AB，过点M作MD⊥AB，使其分别交AB的延长线于点C、D，由题知AB＝60×1.5＝90海里，∠PAC＝45°，设BC为x海里，则在Rt△ACP中，PC＝AB＋BC＝(90＋x)海里，∵在Rt△PBC中，∠PBC＝90°－30°＝60°，∴PC＝3BC＝3x海里，即90＋x＝3x，解得x＝(453＋45)海里，∴PC＝DM＝(135＋453)海里，则在Rt△BMD中，∠MBD＝90°－60°＝30°，∴BM＝2DM＝(270＋903)海里，∴从加速后至到达，渔船航行的时间为(270＋903)÷75＝18＋635小时．第2题解图3.解：设CE＝x米，则AE＝AC＋CE＝(20＋x)米，∵斜坡AB的坡度为1∶3，∴BE＝3(20＋x)米，∵AB＝200米，∴(20＋x)2＋[3(20＋x)]2＝2002，解得x＝80或x＝－120(舍去)，即CE＝80(米)．∵斜坡CD的坡度为1∶4，∴DE＝4×80＝320(米)，∴CD＝CE2＋DE2＝802＋3202＝8017(米)．答：斜坡CD的长为8017米．4.解：如解图，过点B作BD⊥AA1于点D，易得四边形BDA1B1是矩形．∴BD＝A1B1.在Rt△ABD中，AB＝500米，∠BAD＝30°.∴BD＝AB·sin∠BAD＝500×sin30°＝500×12＝250(米)．∴A1B1＝BD＝250(米)．在Rt△BCB1中，BC＝800(米)，∠CBB1＝60°.∴CB1＝BC·sin∠CBB1＝800×sin60°＝800×32＝4003(米)．∴CA1＝CB1＋A1B1＝4003＋250≈400×1.732＋250≈943(米)．答：检修人员上升的垂直高度CA1约为943米．第4题解图5.解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tanα＝tan∠CAB＝13＝33，∴∠α＝30°.答：新坡面的坡角α为30°；(2)文化墙PM不需要拆除．理由：如解图，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝6，∵坡面BC的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶3.∴BD＝CD＝6，AD＝CDtan30°＝63.∴AB＝AD－BD＝63－6.∴PA＝PB－AB＝8－(63－6)＝14－63≈3.6083.∴文化墙PM不需要拆除．第6题解图类型二背靠背型1.解：如解图，过点C作CD⊥AB于点D，∵在Rt△ADC中，∠CAB＝30°，∴AD＝CDtan∠CAB＝CDtan30°＝3CD，∵在Rt△BCD中，∠CBA＝60°，∴BD＝CDtan∠CBA＝CDtan60°＝33CD，∵AB＝AD＋BD＝30米，∴3CD＋33CD＝30，∴CD＝1532≈15×1.732＝12.975≈13(米)．答：河的宽度约为13米.第1题解图2.解：如解图，过点D作DF⊥AB于点F，第2题解图在Rt△ADF中，DF＝21米，∠ADF＝30°，∴AF＝DF·tan30°＝73(米)，在Rt△EDF中，DF＝21米，∠EDF＝45°，∴EF＝DF＝21米，∴AE＝AF＋EF＝73＋21≈33.1(米)．答：条幅的长度约为33.1米．3.解：如解图，过点B作AC的垂线，垂足为点D，第3题解图设BC长为x海里，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°－45°＝45°.∴DC＝BD＝2x2.∵在A处测得小岛B位于它的北偏东30°方向，∴∠BAD＝60°.∴sin∠BAD＝BDAB.∴sin60°＝2x280＝32，解得x＝406.答：此时航母与小岛的距离BC的长为406海里．4.解：如解图，过点C作CD⊥AB于点D，∵某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，∴∠CAB＝90°－60°＝30°.∵巡逻艇在C处沿东南方向驶往港口B，∴∠BCD＝45°，∴△CDB是等腰直角三角形，且DC＝BD.∵巡逻艇在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B，∴BC＝20×3＝60(海里)．∴DC＝BD＝22BC＝302(海里)．在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∴tan∠CAD＝CDAD，∴tan30°＝302AD＝33，解得AD＝306(海里)．∴AB＝AD＋DB＝306＋302＝30(3×2＋2)≈115.5(海里)．答：A，B间的距离为115.5海里．第4题解图类型三实物模型1.解：如解图，分别过点C、D作CE⊥AB于点E，DF⊥AB交AB延长线于点F，作CM⊥DF于点M，则MF＝CE，CM＝EF.在Rt△AEC中，∵∠AEC＝90°，∠CAE＝60°，CA＝40，∴CE＝CA·sin60°＝40×32＝203.∴DM＝DF－MF＝49.6－203.在Rt△CDM中，∵∠CMD＝90°，CD＝30，∴sin∠DCM＝DMCD＝49.6－20330≈12.∴∠DCM≈30°.∴此时台灯光线为最佳．第1题解图2.解：如解图，过点B作BM⊥DE于点M，过点C作CQ⊥AD于点Q，交BM于点F，过点A作AP⊥BM于点P，则四边形DECQ、AQFP是矩形，第2题解图∴DQ＝CE＝130cm，CQ＝DE＝50cm，AQ＝PF，AP＝QF，∵BM∥AD，∠D′AB＝37°，∴∠ABP＝∠D′AB＝37°，在Rt△ABP中，∵AB＝25cm，∴AP＝AB·sin∠ABP＝25×sin37°≈15cm，BP＝AB·cos∠ABP＝25×cos37°≈20cm，∴CF＝CQ－QF＝CQ－AP≈50－15＝35cm，∵∠ABC＝72°，∴∠FBC＝∠ABC－∠ABP＝35°，在Rt△FBC中，∠BFC＝90°，∴tan∠FBC＝CFBF，即BF＝35tan35°≈50cm，∴AQ＝PF＝BF－PB≈50－20＝30cm，∴AD＝AQ＋DQ＝30＋130＝160cm，答：安装师傅应将支架固定在离地面约160cm的位置．