人大寿险精算数学课件-

保险精算学中国人民大学统计学院主讲教师：王晓军黄向阳王燕教材指定教材Kellison,S.G.，TheoryofInterest，2ndEdition,SOA，1991.Bowers,N.L，ActuarialMathematics，2ndEdition，SOA，1997.参考资料王晓军等，保险精算学，中国人民大学出版社，1995。课程结构基础利息理论基础生命表基础核心保费计算责任准备金计算多重损失模型保单的现金价值与红利拓展特殊年金与保险寿险定价与负债评估偿付能力与监管第一章利息理论基础利息理论要点利息的度量利息问题求解的原则年金收益率分期偿还表与偿债基金第一节利息的度量第一节汉英名词对照积累值现实值实质利率单利复利名义利率贴现率利息效力AccumulatedvaluePresentvalueEffectiveannualrateSimpleinterestCompoundinterestNominalinterestDiscountrateForceofinterest一、利息的定义定义：利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。影响利息大小的三要素：本金利率时期长度二、利息的度量积累函数金额函数贴现函数第N期利息)(ta)(tA)(1ta0t1------------------------------K-----------------------------------------------------------1)(1ta)(ta)(tA)1()()(nAnAnI()In利息度量一——计息时刻不同期末计息——利率第N期实质利率期初计息——贴现率第N期实质贴现率)1()(nAnIin)()(nAnIdn例1.1实质利率/贴现率某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求分别等于多少？2121ddii、、、例1.1答案1211112222(0)1000,(1)1020,(3)1050(1)(0)20(3)(2)30202%(0)1000201.96%(1)1020302.94%(1)1020302.86%(2)1050AAAIAAIAAIiAIdAIiAIdA利息度量二——积累方式不同线形积累单利单贴现指数积累复利复贴现iniiittan)1(11)(iiitant)1()(dndddttan)1(11)(1dddtant)1()(1单复利计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。1t1t例1.2某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计息、复利计息、单贴现计息、复贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累值？例1.2答案5531%215000)5(%2)4(5556%2515000)5(%2)3(5520%)21(5000)5(%2)2(5500%)251(5000)5(%2)1(55）（复贴现计息单贴现计息复利计息单利计息AAAA利息的度量三——利息转换频率不同实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记为实质利率，记为。名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每一期的利率为j，记为这一年的名义利率，。利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力，记为。实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似。)(miit()mimj实质利率与实质贴现率ii1d111）（idvv名义利率名义利率1i1i141)4(i2)4(41i3)4(41i4)4(41i)(miimimm11)(名义贴现率名义贴现率1d1d141)4(d2)4(41d3)4(41d4)4(41d)(mddmdmm11)(例1.31、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。例1.3答案1、2、3、420(4)0.0815001742.9744niP84.693206.01100021122)2(0nndAA%0605.611206.014121413)4(12)12(4)4(idi利息效力定义：瞬间时刻利率强度()()()ln()()()ln()()limlimtmmmmAtdAtAtdtatdatatdtid等价公式一般公式恒定利息效力场合dstseta0)(ln(1)()exp{}iann1ln()exp{}vann例1.4确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1、2、%52)1(05.0tt例1.4答案50.104610001000272.1648100010001100105.0)1(05.005.010101002tdtteeee、、三、变利息什么是变利息？常见的变利息情况连续变化场合：函数利息力离散变化场合：)(t),,(,,11ttddii111()(1)(1)ttkkkkatid0()exp{()}tatsds例1.51、如果，试确定1在n年末的积累值。2、如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%，最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累值。3、假定一笔资金头3年以半年度转换年利率6%计息，随之2年以季度转换8%的年贴现率计息，若5年后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额应该为多少？tt11例1.5答案5.712)03.1()98.0(100021411000306.193504.1045.105.11000)1()1()1(10002116832)2(24)4(5555352510)1ln(110idiiineentdttn、、、第二节利息问题求解原则一、利息问题求解四要素原始投资本金投资时期长度利率及计息方式期初/期末计息：利率/贴现率积累方式：单利计息、复利计息利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力本金在投资期末的积累值二、利息问题求解原则本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题工具：现金流图方法：建立现金流分析方程（求值方程）原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。01t2tnt现金流时间坐标1p2pnp0p例1.6：求本金某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？例1.6答案以第7年末为时间参照点，有以第8年末为时间参照点，有以其他时刻为时间参照点（同学们自己练习）千元7435.31006.106.1406.146xx千元7435.306.11006.1406.157xx例1.7：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？（2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？例1.7答案（1）（2）%124%35700)14000)4(43jijj（)204.2%4.2061)1()(61)1(15000)1(6000)1(30002224舍去（由舍去负根iiiiii例1.8：求时间假定分别为12%、6%、2%，问在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要几年？)12(i例1.8精确答案7.340017.1ln122ln2%)17.01(%26.11005.1ln122ln2%)5.01(%68.501.1ln122ln2%)11(%1212)12(12)12(12)12(ninininnn时，时，时，例1.9近似答案——ruleof723602.072.0%2)1(1206.072.0%12)2(612.072.0%12)1(72.008.1ln08.02ln08.0)1ln(2ln)1ln(2ln2ln)1ln(2)1()12()6()12(niiniiniiiiiiiiininin原理：例1.10：求积累值某人现在投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。其中前4年以半年度转换名义利率5%复利计息，后三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末此人可获得多少积累值？例1.10答案57562000025.12000025.110002000)1(2000)1(1000)7(06.009.0209.0823238eeeeejejA第三节年金第三节汉英名词对照年金支付期延付年金初付年金永久年金变额年金递增年金递减年金AnnuityPaymentperiodAnnuity-immediateAnnuity-dueperpetuityVaryingannuityIncreasingannuityDecreasingannuity一、年金的定义与分类定义按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。分类基本年金等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金二、基本年金基本年金等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定分类付款时刻不同：初付年金/延付年金付款期限不同：有限年金/永久年金基本年金图示0123-------nn+1n+2---111----100---111----1000---111----111----111----111----延付永久年金初付永久年金延付年金初付年金基本年金公式推导211(1)1111(1)1(1)(1)11(1)(1)1(1)1(1)(1)(1)(1)11limlim11limlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnvvvavvvvivavviadiisiiiiisiiisdvaaiivaadd例1.11一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年转换9%，求此项年金的现时值。400.0451.1150050018.40169200.8a例答案：例1.12某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？例1.12答案（1）（2）2464300000%465.01