弦上驻波实验

北京大学实验报告姓名：陈伟学号：1100011608组号：二下三组组内编号：3弦上驻波实验2013年6月4日x1目的要求（1）观察在两端被固定的弦线上形成的驻波现象。了解弦线达到共振和形成稳定驻波的条件。（2）测定弦线上横波的传播速度。（3）用实验的方法确定弦线作受迫振动时的共振频率与驻波波长，张力和弦线线密度之间的关系。（4）对（3）中的实验结果用对数坐标纸作图，用最小二乘法作线性拟合和处理数据，并给出结论。x2仪器用具弦音计装置一套（包括驱动线圈和探测器线圈各一个，1Kg砝码和不同密度的吉他线，信号发生器，数字示波器，千分尺，米尺）。x3实验原理1.横波的速度。横波沿弦线传播时，在维持弦线张力不变的情况下，横波的传播速度v与张力T及弦线的线密度（单位长度的质量）µ之间的关系为：v=√Tµ(1)2.在两端被固定弦线上形成的驻波。考虑两列振幅，频率相同，有固定相位差，传播方向相反的间谐波u1(x,t)=Acos(kxωtφ)和u2(x,t)=Acos(kx+ωt)。其中k为波数，φ为u1与u2之间的相位差叠加，其合成运动为：u(x,t)=u1(x,t)+u2(x,t)=2Acos(kxφ2)cos(ω+φ2)由上式可知，时间和空间部分是分离的，某个x点的振幅不随时间改变，为：A(x)=2Acos(kxφ2)1北京大学实验报告姓名：陈伟学号：1100011608组号：二下三组组内编号：3振幅最大的点称为波腹，振幅为零的点，为波节，上述运动状态为驻波。驻波中振动的相位取决于cos(kxφ2)因子的正负，它每经过波节变号一次。所以，相邻波长之间各点具有相同的相位，波节两侧的振动相位相反，即相差相位π。对两端固定的弦（长为L），任何时刻都有(u1+u2)x=0=0,则cos(φ2)=0(u1+u2)x=L=0,则cos(kLφ2)=0由上式知，φ=π，意味着入射波u1和反射波u2在固定端的相位差为π，即有半波损。φ确定后，则有kL=nπ(n=1,2,3,4)或λ=2Ln，驻波的频率为：f=ω2π=kv2π=nv2Lfnnf1nv2L=(n2L)√Tµ式中：f1为基频，fn(n1)为n次谐波。3.共振条件。对于两端固定的弦线上的每一列波在到达弦的另一端时都被反射，通常多列反射波不总是同相位，并且叠加后幅度小。然而在某些确定的振动频率下时，所有的反射波具有相同的相位时，就会产生很大的振幅，这些频率称为共振频率。通常波长满足下列条件：λ=2Ln上式还可以表述为当弦线的长度为半波长的整数倍n时，弦上形成驻波且振幅最大最稳定。x4实验装置1.实验装置的主体。弦音计装置由吉他弦，固定吉他弦的支架和基座，琴码，砝码支架，驱动线圈和探测线圈以及砝码等组成。2.信号发生器。低频功率信号发生器，型号DF1027B，其输出信号的频率从10Hz到1MHz。3.数字示波器。型号为SS7802A，双通道显示。2北京大学实验报告姓名：陈伟学号：1100011608组号：二下三组组内编号：3x5实验内容（1）认识和调节仪器：1.认识实验仪器，了解各部分功能，并进行实验前的调节。2.用三通接头将驱动线圈分别与信号发生器和示波器的一个通道连接，将探测线圈连接到示波器的另一通道。（2）测量弦的长度和质量，求得线密度µ。（3）选择T=3mg(m=1kg)，L=60.0cm，算得不同n值（即波腹数）时的频率f理，然后实验测得相应的f测，并求出相应的波速，和理论值比较。（3）选择不同的L值（从40cm—70cm选择5–6个点），算出不同L值时的频率f理，然后实验测得相应的f测。（4）选择不同的T值（1kg—5kg），算出不同L值时的频率f理，然后实验测得相应的f测。（5）和其他同学共享数据，求得不同µ（线密度）时的基频f0。x6数据表格（1）弦线的长度和质量。测得m=2.26g，L=0.706m，则得µ=mL=3.2103kg/m。（2）f—n关系。测量中T=3mg,L=60cm，g=9.8Kg
m/s2，利用这些已知量则可以算得速度的理论值v=95.6m/s。nf理(Hz)f测(Hz)∆(%)v(m/s)180.082.83.599.42160.0165.13.299.13240.0249.03.899.64320.0332.03.899.65400.0418.04.5100.36480.0498.03.899.6（3）f—L关系。L/cmf理(Hz)f测(Hz)∆(%)40.0119.0123.03.443.1111.4115.03.246.7102.0106.03.950.994.397.02.956.085.789.03.962.177.281.04.93北京大学实验报告姓名：陈伟学号：1100011608组号：二下三组组内编号：3（3）f—T关系。T/Nf理(Hz)f测(Hz)∆(%)1mg46.246.81.32mg65.366.82.33mg80.078.81.54mg92.394.82.75mg103.2104.81.6（4）f—µ关系。。从其他同学所得数据：µ=5.82103kg/m时，f理=59.2Hz，f测=62.4Hz。µ=2.23103kg/m时，f理=95.0Hz，f测=100.2Hz。x7数据处理及结果（1）f—n关系。波速理论值为95.6m/s，实际测得的波速平均值为99.6m/s，σv=0.2m/s。所测值与理论值有所偏差，但考虑此次实验的精度，此结果应该还是合理的。f—n关系图如下：012345670200400600f(Hz)nEquationy=a+b*xAdj.R-Squar0.99993ValueStandardErrBIntercept-0.95331.22661BSlope83.36280.31496从图中可以看出，数据呈现了非常好的线性关系，线性因子在0.9999以上，利用斜率知道f0=83.5Hz，这数据和理论值80.0Hz有一定的偏差，但仍在允许范围10%内。4北京大学实验报告姓名：陈伟学号：1100011608组号：二下三组组内编号：3（2）f—L关系。下面作出了f—L1的关系图：1.62.02.480100120f(Hz)L-1(m-1)Equationy=a+b*xAdj.R-Square0.99941ValueStandardErrorBIntercept1.133451.07044BSlope47.280790.51571从图中可以看出，曲线仍具有良好的线性相关因子，在0.999以上。（3）f—T关系。下面作出f—T12关系图：2468406080100f(Hz)T1/2(N1/2)Equationy=a+b*xAdj.R-Squar0.99573ValueStandardErroBIntercept-0.41152.66607BSlope15.01740.49172此图的线性相关因子相对上两图稍差，但线性关系还是较为明显的。5北京大学实验报告姓名：陈伟学号：1100011608组号：二下三组组内编号：3（4）f—µ关系。作出f—(1µ)12图：121518216080100f(Hz)Equationy=a+b*xAdj.R-Squar0.99813ValueStandardErroBIntercept0.89372.52222BSlope4.67300.1431x8讨论从此次实验的难度来看应该是较为中等的，对数据处理和操作都有一定的要求，考虑到实验要求的精度不高，此次实验所得数据均在精度范围内，下面对一些细节进行讨论。（1）驱动线圈和观测线圈应相隔一定的距离，否则两者离太近将会看到观测线圈明显受到驱动线圈的影响。（2）在接近共振频率时，除了看示波器波形外也容易感受到共振产生的声音，利用这一点可以便于我们找到频率。（3）在观测f—L的关系时，调整L时，注意使弦水平。6