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《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析.()2.有界整函数必在整个复平面为常数.()3.若{}nZ收敛，则{Re}nz与{Im}nz都收敛.()4.若f(z)在区域D内解析，且'()0fz≡，则()fzC≡（常数）.()5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()6.若z0是)(zf的m阶零点，则z0是1/)(zf的m阶极点.()7.若)(lim0zfzz→存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点.()8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则)(0)('Dzzf∈∀≠.()9.若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C0)(=∫Cdzzf.()10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、0||10()nzzdzzz−==−∫__________.（n为自然数）2.=+zz22cossin_________.3.函数zsin的周期为___________.4.设11)(2+=zzf，则)(zf的孤立奇点有__________.5.幂级数0nnnz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→nnzlim，则=+++∞→nzzznn...lim21______________.8.=)0,(Renzzes________，其中n为自然数.9.zzsin的孤立奇点为________.10.若0z是)(zf的极点，则___)(lim0=→zfzz.三.计算题（40分）：1.设)2)(1(1)(−−=zzzf，求)(zf在}1||0:{=zzD内的罗朗展式.2..cos11||∫=zdzz3.设∫−++=Cdzzfλλλλ173)(2，其中}3|:|{==zzC，试求).1('if+4.求复数11+−=zzw的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数)(zf在区域D内解析.证明：如果|)(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数.2.试证:()(1)fzzz=−在割去线段0Re1z≤≤的z平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re1z≤≤上岸取正值的那支在1z=−的值.《复变函数》考试试题（二）一.判断题.（20分）1.若函数),(),()(yxivyxuzf+=在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.()2.cosz与sinz在复平面内有界.()3.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续.()4.有界整函数必为常数.()5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则)(lim0zfzz→一定不存在.()6.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.()7.若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C0)(=∫Cdzzf.()8.若数列}{nz收敛，则}{Renz与}{Imnz都收敛.()9.若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析.()10.存在一个在零点解析的函数f(z)使0)11(=+nf且,...2,1,21)21(==nnnf.()二.填空题.(20分)1.设iz−=，则____,arg__,||===zzz2.设Ciyxzyxixyxzf∈+=∀+−++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim1zfiz________.3.=−∫=−1||00)(zznzzdz_________.（n为自然数）4.幂级数0nnnz∞=∑的收敛半径为__________.5.若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是)('zf的_____零点.6.函数ez的周期为__________.7.方程083235=++−zzz在单位圆内的零点个数为________.8.设211)(zzf+=，则)(zf的孤立奇点有_________.9.函数||)(zzf=的不解析点之集为________.10.____)1,1(Res4=−zz.三.计算题.(40分)1.求函数)2sin(3z的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点iz=处的值.3.计算积分：∫−=iizzId||，积分路径为（1）单位圆（1||=z）的右半圆.4.求dzzzz∫=−22)2(sinπ.四.证明题.(20分)1.设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是)(zf在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一.判断题.(20分).1.cosz与sinz的周期均为πk2.()2.若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件,则f(z)在z0解析.()3.若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续.()4.若数列}{nz收敛，则}{Renz与}{Imnz都收敛.()5.若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数.()6.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.()7.如果函数f(z)在}1|:|{≤=zzD上解析,且)1|(|1|)(|=≤zzf,则)1|(|1|)(|≤≤zzf.（）8.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()9.若z0是)(zf的m阶零点,则z0是1/)(zf的m阶极点.()10.若0z是)(zf的可去奇点，则0)),((Res0=zzf.()二.填空题.(20分)1.设11)(2+=zzf，则f(z)的定义域为___________.2.函数ez的周期为_________.3.若nnninnz)11(12++−+=，则=∞→nznlim__________.4.=+zz22cossin___________.5.=−∫=−1||00)(zznzzdz_________.（n为自然数）6.幂级数∑∞=0nnnx的收敛半径为__________.7.设11)(2+=zzf，则f(z)的孤立奇点有__________.8.设1−=ze，则___=z.9.若0z是)(zf的极点，则___)(lim0=→zfzz.10.____)0,(Res=nzze.三.计算题.(40分)1.将函数12()zfzze=在圆环域0z∞内展为Laurent级数.2.试求幂级数nnnznn∑+∞=!的收敛半径.3.算下列积分：∫−Czzzze)9(d22，其中C是1||=z.4.求0282269=−−+−zzzz在|z|1内根的个数.四.证明题.(20分)1.函数)(zf在区域D内解析.证明：如果|)(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数.2.设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当Rz≥||时nzMzf|||)(|≤，证明)(zf是一个至多n次的多项式或一常数。《复变函数》考试试题（四）一.判断题.(20分)1.若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.（）2.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（）3.函数zsin与zcos在整个复平面内有界.（）4.若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有0)(=∫Cdzzf.（）5.若)(lim0zfzz→存在且有限，则z0是函数的可去奇点.（）6.若函数f(z)在区域D内解析且0)('=zf，则f(z)在D内恒为常数.（）7.如果z0是f(z)的本性奇点，则)(lim0zfzz→一定不存在.（）8.若0)(,0)(0)(0==zfzfn，则0z为)(zf的n阶零点.（）9.若)(zf与)(zg在D内解析，且在D内一小弧段上相等，则Dzzgzf∈≡),()(.（）10.若)(zf在+∞||0z内解析，则)),((Res)0),((Res∞−=zfzf.（）二.填空题.(20分)1.设iz−=11，则___Im__,Re==zz.2.若ξ=∞→nnzlim，则=+++∞→nzzznn...lim21______________.3.函数ez的周期为__________.4.函数211)(zzf+=的幂级数展开式为__________5.若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.6.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________.7.设1|:|=zC，则___)1(=−∫Cdzz.8.zzsin的孤立奇点为________.9.若0z是)(zf的极点，则___)(lim0=→zfzz.10.=)0,(Resnzze_____________.三.计算题.(40分)1.解方程013=+z.2.设1)(2−=zezfz，求).),((Re∞zfs3..))(9(2||2∫=+−zdzizzz.4.函数()fz=zez111−−有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四.证明题.(20分)1.证明：若函数)(zf在上半平面解析，则函数)(zf在下半平面解析.2.证明0364=+−zz方程在2||1z内仅有3个根.《复变函数》考试试题（五）一.判断题.（20分）1.若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（）2.若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数.（）3.若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析.（）4.若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析.（）5.若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析.（）6.若)(lim0zfzz→存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点.（）7.若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析.（）8.设函数)(zf在复平面上解析，若它有界，则必)(zf为常数.（）9.若0z是)(zf的一级极点，则)()(lim)),((Res000zfzzzzfzz−=→.（）10.若)(zf与)(zg在D内解析，且在D内一小弧段上相等，则Dzzgzf∈≡),()(.（）二.填空题.（20分）1.设iz31−=，则____,arg__,||===zzz.2.当___=z时，ze为实数.3.设1−=ze，则___=z.4.ze的周期为___.5.设1|:|=zC，则___)1(=−∫Cdzz.6.____)0,1(Res=−zez.7.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。8.函数211)(zzf+=的幂级数展开式为_________.9.zzsin的孤立奇点为________.10.设C是以为a心，r为半径的圆周，则___)(1=−∫Cndzaz.（n为自然数）三.计算题.(40分)1.求复数11+−zz的实部与虚部.2.计算积分：zzILdRe∫=，在这里L表示连接原点到1i+的直线段.3.求积分：I=∫+−πθθ202cos21aad，其中0a1.4.应用儒歇定理求方程)(zzϕ=，在|z|1内根的个数，在这里)(zϕ在1||≤z上解析，并且1|)(|zϕ.四.证明题.(20分)1.证明函数2||)(zzf=除去在0=z外，处处不可微.2.设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当Rz≥||时nzMzf|||)(|≤，证明:)(zf是一个至多n次的多项式或一常数.《复变函数》考试试题（六）一、判断题（30分）：1.若函数()fz在0z解析，则()fz在0z连续.（）2.若函数()fz在0z处满足Caychy-Riemann条件，则()fz在0z解析.（）3.若函数()fz在0z解析，则()fz在0z处满足Caychy-Riemann条件.（）4.若函数()fz在是区域D内的单叶函数，则()0()fzzD′≠∀∈.（）5.若()fz在单连通区域D内解析，则对