立体几何中的角度问题

*立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*空间的角的概念及其计算，是立体几何的基本内容，也是其重点和难点。求空间角的一般步骤是：空间中的角有：异面直线所成角,线面角,二面角。(1)找出或作出有关的图形；(2)证明它符合定义；(3)计算。[即：要求先证，要证先作。]立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*bα空间角一、异面直线所成的角：aaO立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*1.两条异面直线所成的角：①平移其中一条直线或者两条直线，找出两异面直线所成的角，然后解三角形；如果求出的是钝角，则取其补角；②先求两条异面直线的方向向量所成的角，但如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角.[方法论坛]立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*2.直线和平面所成的角：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来.②向量法，先求直线的方向向量与平面的法向量所成的角，令所要求的角为Ө，则SinӨ=|Cos|立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*3.平面与平面所成的角:①“一找二证三求”.一找：找出这个二面角的平面角；二证：证明所找角即为二面角的平面角；三求：解三角形求角.②向量法:先求两个平面的法向量所成的角为，那么这两个平面所成的二面角的平面角为或π..cos原射影SS立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*小结：1、正确掌握空间各种角的定义及取值范围：（1）异面直线所成角的范围：0º90（2）直线与平面所成的角的范围：0º90（3）二面角的平面角的范围通常认为：0º180立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*注意：(1)在求角时，若比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，则用向量方法比较好；否则，用非向量方法比较简便.(2)用非向量方法求角时，要做到“一找二证三求”，在解题过程中一定要出现形如“∠就是所要求的角”的句子.立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*【例3】如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=AD,找出二面角A-PB-C的平面角ABCDPE立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。(3)坐标法立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*2、直线和平面所成的角•直线与平面平行或在平面内，直线和平面所成的角的是0º；•斜线和平面所成的角是：斜线及斜线在平面上的射影所成的角。•直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90º；通常是从斜线上找特殊点，作平面的垂线段，构作含所求线面角的三角形求之。求斜线与平面所成的角，关键是找准斜线段在平面内的射影；立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*例2.如图,在三棱锥P-ABC中，AB=BC=CA，PA⊥底面ABC，D为AB的中点．(1)求证：CD⊥PB；(2)设PA=AB,求二面角A-PB-C的正切值.BAPDCO立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*•从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。3、二面角•二面角的大小用它的平面角来度量；（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角；AB求二面角常用方法有：立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*（3）垂面法：作二面角棱的垂面，则垂面和二面角的两个面的交线所成的角即是该二面角的平面角。（2）用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角；如图，由三垂线定理(或逆定理),过二面角-a-的一个面上一点P向另一个面作垂线PA，再由垂足A(或点P)向棱作垂线AB(或PB)，连PB(或AB)，则PBA就是二面角-a-的平面角。APBa立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*二、斜线和平面所成的角：射影垂线斜线θ立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题1．庄子用“郊祭之牺牛”作比，说明自己只要到了楚国，就会被楚国治罪。2．从庄周拒绝楚王聘任，可以看出庄子拒绝功名利禄，追求自由的精神。3.我记得有一句著名的格言是这样的:“真理诞生于一百个问号之后”。其实,应该说,这句格言本身也是真理。4.这次假期作业能全部完成的同学,充其量只能说占全班的十分之二、三,至于完成的质量就更不好说了。5．庐冢，也叫“庐墓”，古时为了表示孝顺父母或尊敬师长，在他们死后服丧期间，为守护坟墓而盖的屋舍。6．古代以山南水北为阴，山北水南为阳。故“以其乃华山之阳名之也”中的“华山之阳”是指华山的北面。