不等式复习提纲

第六章不等式一、知识框架二、重点难点重点：实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系，不等式的8条性质；用作差法解答不等式问题；5个基本不等式；不等式的证明方法；各种不等式的解法，不等式的同解变形；难点:对不等式8条性质的正确运用；领悟作商法适合的题型；正确运用不等式的性质和5个基本不等式证明简单的不等式；证明方法所适用的题型；解各种不等式；分类讨论“标准”的确定；用分类讨论思想解不等式；三、知识点解析1、不等式的性质（1）ab的大小顺序（实数的顺序性）与实数的运算性质之间的关系：1）设,abR，则①0abab；②0abab；③0abab；2）设,abR，则①1aabb；②1aabb；③1aabb；（2）不等式的概念：1）不等式的定义：用不等号（,,,,）表示不等关系的式子叫做不等式，分为严格不等式和非严格不等式；2）同向、异向不等式：()0fx与()0gx叫做同向不等式，()0fx与()0gx叫做异向不等式；3）不等式的解集：使()0(()0)fxfx或成立的x的集合，叫做()0(()0)fxfx或的解集；4）同解不等式：若()0fx与()0gx（或()0gx）的解集相等，则()0fx与()0gx（或()0gx）叫做同解不等式；5）不等式的同解变形：一个不等式变形为与它同解的不等式，这样的变形成为不等式的同解变形；6）证明不等式；7）解不等式；（3）不等式的基本性质：①abba（对称性）；②,abbcac（传递性）；③abacbc（可加性）；④,abcdacbd；⑤,0;,0abcacbcabcacbc（可乘性）；⑥0,0abcdacbd；⑦00(,1)nnababnZn且；⑧00(,1)nnababnZn且；2、不等式的证明1）算术平均数与集合平均数：几个基本不等式（见下表）；2）不等式的证明：下表是不等式证明的理论体系：3、不等式的解法（1）不等式解法的理论体系见下表：（2）有理不等式：1）一元不等式：2）分式不等式：不等式()0()fxgx与不等式组()0()0fxgx或()0()0fxgx同解；不等式()0()fxgx与不等式组()0()0fxgx或()0()0fxgx同解。（3）无理不等式：()()fxgx与2()[()]()0()0fxgxfxgx或()0()0fxgx同解；()()fxgx与2()[()]()0()0fxgxfxgx同解；()()fxgx与()()()0()0fxgxfxgx同解；（4）指数不等式：1a时，()()fxgxaa与()()fxgx同解；01a时，()()fxgxaa与()()fxgx同解；（5）对数不等式：1a时，log()log()aafxgx与()()()0()0fxgxfxgx同解；01a时，log()log()aafxgx与()()()0()0fxgxfxgx同解；（6）含绝对值得不等式：(0)||(0)cxccxcc，,(0)||0(0)(0)xcxccxcxcRc或，22|()||()|[()][()]fxgxfxgx；4、不等式的应用四、例题1、不等式的性质例1比较(3)(5)aa与(2)(4)aa的大小。分析作差比较。解22(3)(5)(2)(4)(215)(28)70aaaaaaaa，(3)(5)(2)(4)aaaa。例2已知0x，比较22(1)x与421xx的大小。分析作差比较。解224242422(1)(1)211xxxxxxxx，由0x，得20x，从而2242(1)1xxx。思考当去掉条件0x时，则大小关系如何？例3设0,0,abnN，且1n，比较nnab与11nnabab的大小。分析作差比较。解111111()()()()()nnnnnnnnabababaabbbaabab，当0ab时，11nnab，0ab，则11()()0nnabab，11()nnnnababab；当0ab时，11nnab，0ab，则11()()0nnabab，11()nnnnababab。总结比较两个实数(代数式)大小的思维过程是：作差→变形→判断符号→结论。例4判断下列各命题的真假，说明理由：(1)如果ab，那么acbc；(2)如果acbc，那么ab；(3)如果22acbc，那么ab。分析判断一个命题的真假的方法是：如果判定是真命题，则必须给出它的证明；如果判定是假命题，只要举出一个反例即可。解根据不等式的性质可判定如下：真命题是(1)、(3)．假命题是(2)。例5回答下列问题：(1)如果ab，cd，能否断定ac与bd谁大谁小？举例说明；(2)如果ab，cd，能否断定2ac与2bd谁大谁小？举例说明．分析解答本题的方法是：如果作肯定回答，则必须给出它的证明；如果作否定回答，则必须举出反例。解(1)不能断定；(2)不能断定．举例略．注意本例举例要举出3个例子，使得两代数式的值能体现出大于、小于、相等三种情况．例7已知ab，cd，求证acbd。解由ab知0ab，则cd知0dc，()()()()0acbdabdc，acbd。2、不等式的证明例1已知,ab是正数，且ab，求证3322ababab。证明33222()()()0ababababab，3322ababab。说明本题条件下可证明553223ababab。例2甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1,t2，则：21122,22tnSmSSntmt可得：mnnmStnmSt2)(,221∴)(2)()(2])(4[2)(22221nmmnnmSmnnmnmmnSmnnmSnmStt∵S,m,n都是正数，且mn，∴t1t20即：t1t2，从而，甲先到到达指定地点。例3设a,bR+，求证：abbababaabba2)(证明作商：2222)()(baabbababababaabba当a=b时，1)(2baba；当ab0时，1)(,02,12babababa；当ba0时，1)(,02,102babababa。∴2)(babaabba。同理可证2()abbaabab。例4求证5273证明因为5273和都是正数，所以为了证明5273，只需证明22)52()73(，展开得2021210，即2521,10212。因为2521成立，所以22)52()73(成立，即证明了5273。例5证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.分析当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为2L，截面积为2()2L；周长为L的正方形边长为4L，截面积为2)4(L.所以本题只需证明22)4()2(LL。说明对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的。例6已知x0,y0，2x+y=1，求证：22311yx证一22323)2(11xyyxyxyx即：22311yx；证二由x0,y0，2x+y=1，可设22cos,sin21yx，则)tan1()cot1(2cos1sin2112222yx223)tancot2(322。例7若122yx，求证：2|2|22yxyx证设)10(,cos,sinrryrx，则|sinsincos2cos||2|2222222rrryxyx2242cos2|2sin2cos|222rrr小结若0≤x≤1，则可令x=sin(20)或x=sin2(22)。若122yx，则可令x=cos,y=sin(20)。若122yx，则可令x=sec,y=tan(20)。若x≥1，则可令x=sec(20)。若xR，则可令x=tan(22)。例8证明：3422xxy在),2[是增函数。证设2≤x1x2,则)4)((4434342121121212222221212222xxxxxxxxxxxxyy。∵x2x10,x1+x240∴12021yy。又∵y10，∴y1y2∴3422xxy在),2[是增函数。例9设a,b,cR，1求证：)(2222baba，2求证：)(2222222cbaaccbba证1∵0)2(2222baba∴2|2|222bababa∴)(2222baba2同理：)(2222cbcb，)(2222acac三式相加：)(2222222cbaaccbba例10a,b,cR＋,求证：19)111)((cbacba，229)111)((accbbacba，323bacacbcba。证1法一：33abccba,313111abccba,两式相乘即得。法二：左边)()()(3cbbccaacbaabccbabcbaacba≥3+2+2+2=9。2∵3))()((23222accbbaaccbba，3))()((13111accbbaaccbba，两式相乘即得。3由上题：29)111)((accbbacba，∴29111acbcbabac，即：23bacacbcba3、不等式的解法例1解关于x的不等式)()(abxbabxa解将原不等式展开，整理得：)()(baabxba讨论当ba时，babaabx)(；当ba时，若ba≥0时x；若ba0时Rx；当ba时，babaabx)(。例2解关于x的不等式0)1(2aaxx解原不等式可以化为：0))(1(axax。若)1(aa即21a则ax或ax1；若)1(aa即21a则0)21(2x，Rxx,21；若)1(aa即21a则ax或ax1。例3关于x的不等式02cbxax的解集为}212|{xxx或，求关于x的不等式02cbxax的解集。解由题设0a且25ab，1ac，从而02cbxax可以变形为02acxabx，即：01252xx∴221x。例4关于x的不等式01)1(2axaax对于Rx恒成立，求a的取值范围．解：当0a时不合，0a也不合，∴必有：012300)1(4