湖南省长沙市雅礼中学2021届高三下学期月考(七)数学试题

雅礼中学2021届高三月考试卷（七）数学第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为实数集，集合3|6Axx，2|9140Bxxx，则()UABðA．(2,6)B．(2,7)C．3,2D．3,22．若3112izii，则z的虚部为A．15B．15C．35D．353．函数2()()1xxxeefxx的图象大致是A．B．C．D．4．某新晋网红一线城市鹅城人口模型近似为0.012250024tPe，其中0t表示2020年的人口数量，则鹅城人口数量达到320000的年份大约是（ln20.693，ln31.099，ln51.609）A．2040年B．2045年C．2030年D．2050年5．我们打印用的A4纸的长与宽的比约为2，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为2纸张的形状不变．已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD为一张A4纸，若点E为上底面圆上弧AB的中点，则异面直线DE与AB所成的角约为A．6B．4C．3D．236．十二生肖，又称十二属相，与中国传统文化中的十二地支呈现一一对应关系，分别为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、西鸡、戌狗、亥猪．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学分别随机抽取一件作为礼物．甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率是A．388B．344C．120D．9447．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221xy，若将军从点(2,0)A处出发，河岸线所在直线方程为3xy，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为A．101B．221C．22D．108．将函数4sin()22fxx和直线()1gxx的所有交点从左到右依次记为1A，2A，，nA若P点坐标为0,3，则12||nPAPAPAA．0B．2C．6D．10二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到如下整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业闵位分布条形图，则下列结论中正确的是注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980—1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A．互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D．互联网行业中从事技术闵位的人数“90后”比“80后”多10．设1ab，01c，则下列不等式中，成立的是A．ccabB．bcabC．loglogbaccD．loglogccba11．已知等比数列{}na首项11a，公比为q，前n项和为nS，前n项积为nT，函数127()()()()fxxxaxaxa，若(0)1f，则A．{lg}na为单调递增的等差数列B．01qC．11naSq为单调递增的等比数列D．使得1nT成立的n的最大值为612．已知直线l：220kxykp与抛物线2:2(0)Cypxp相交于A，B两点，点(1,1)M是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是A．2pB．2kC．MAB的面积为55D．5AB第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线21yxx在点(1,2)处的切线方程为_____．14．在5(12)(2)xx展开式中，4x的系数为_____．15．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为_____．16．设双曲线C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，过1F直线l分别与双曲线左、右两支交于M，N两点，且22FMFN，22FMFN，则双曲线C的离心率为_____．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）从条件①2(1)nnSna，②1(2)nnnSSan，③0na，2=2nnnaaS中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{}na的前n项和为nS，11a，___．若1a，ka，2kS成等比数列，求k的值．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为梯形，ABCD∥，223ABDC，ACBDF且PAD与ABD均为正三角形，G为PAD的重心．（1）求证：GF∥平面PDC；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(sincos)0baCC．（1）求A；（2）若D为BC边上一点，且ADBC，(222)BCAD，求sin2B．20．（本小题满分12分）设椭圆22221(0)xyabab离心率12e，椭圆上的点到左焦点1F的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）求椭圆C的外切矩形（即矩形的四边所在的直线均与椭圆相切）ABCD的面积S的取值范围．21．（本小题满分12分）随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．某科技公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元）与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下序号123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当017x时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：ˆ4.111.8yx；模型②：ˆ21.314.4yx．当17x时，确定y与x满足的线性回归方程为ˆ0.7yxa．（1）根据下列表格中的数据，比较当017x时模型①、②的相关指数2R的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程ˆ4.111.8yxˆ21.314.4yx721ˆ()iiiyy182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数22121ˆ()1()niiiniiyyRyy，174.1）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．（附：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybxa的系数ˆb1122211()()ˆ()nniiiiiinniiiixynxyxxyybxnxxx，ˆˆaybx）（3）科技升级后，“麒麟”芯片效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布20.52,0.01)(N,公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励；若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元，记Y为每部芯片获得的奖励，求(Y)E（精确到0.01）．（附：若随机变量）2~(,)(0)PN，则()0.6827PX，(22)0.9545PX．22．（本小题满分12分）已知函数()xfxeax，()lngxxax，aR．（1）当ae时，讨论函数fx的零点个数；（2）记函数()()()Fxfxgx的最小值为m，求()ln2xmGxee的最小值．雅礼中学2021届高三月考试卷（七）数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CADACAAD1．C∵29140{27}Bxxxxx∣∣，∴27UBxxx∣或ð，∴32(3,2]UABxx∣ð．故选C．2．A因为3111(1)(12)331()121212(12)(12)555iiiiiiziiiiiiii，所以z的虚部为15，故选A．3．D22eeee()()11xxxxxxfxfxxx，()fx是偶函数，排除A，0x时，eexx，即ee0xx，当1x时，又有210x，因此()0fx，排除B，C，故选D．4．A由已知，得0.012320000lnlne250024t，则320000ln2500240.012t，近似于5ln22ln520.5830.012，过20年或21年，结合选项选A，故选A．5．C∵//ABCD，∴EDC（或补角）为异面直线DE与AB所成的角，设CD的中点为O，过E作EF底面⊙O，连接OE，OF，∵E是弧AB的中点，∴F是弧CD的中点，∴CDOF，又EF平面⊙O，∴EFCD，EFOFF，∴CD平面OEF，∴ODOE．设1AD，则2CD，故22OF，1EF，于是2226122OE，∴2tan3226OEEDOOD，∴3EDO．故选C．6．A依题意可分类：①甲同学选马，则有112918CC种情况符合要求；②甲同学选牛，则有113927CC种情况符合要求；三位同学抽取礼物的所有情况有312A种，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率3121827388PA．故选A．7．A设点A关于直线3xy的对称点(,)Aab，AA的中点为2,22ab，2AAbka，故(1)1,223,22baab解得3,1,ab，要使从点A到军营总路程最短，即为点A到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为101，故选A．8．D函数()4cos2fxx与()1gxx的所有交点从左往右依次记为1A、2A、3A、4A和5A，且1A和5A，2A和4A都关于点3A对称，如图所示：则125355(1,3)PAPAPAPA，所以1210nPAPAPA．故选D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．题号9101112答案ABCBCBCDABD9．ABC由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%，超过20%，所以互联网行业从业人员（包括“90后”“80后”“80前”）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56%17%9.52%，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C正确；互联网行业从业人员中“90后”从