弦上驻波实验报告

实验十六弦上驻波实验【目的要求】1)观察在两端被固定的弦线上形成的驻波现象；了解弦线达到共振和形成稳定驻波的条件；2)测定弦线上横波的传播速度；3)用实验的方法确定弦线作受迫振动时的共振频率与驻波波长、张力和弦线密度之间关系；4)对3)中的实验结果用对数坐标纸、用最小二乘法作线性拟合和处理数据，并给出结论。【仪器用具】XY-Ⅰ型弦音计：吉他弦、固定吉他弦的支架和基座（量程80cm，分度值0.1cm）、琴码、砝码支架、驱动线圈和探测线圈各一个、1kg砝码；SG1005P5MHz数字合成信号发生器：功率输出；TDS1001B-SC数字示波器：40MHz500MS/s双通道数字显示；千分尺：量程25mm、分度值0.01mm、允差±0.004mm；钢尺：量程1000mm、分度值1mm、允差±0.20mm..【实验原理】1)横波的波速横波沿弦线传播时，在维持弦线张力不变的情况下，横波的传播速度v与张力T及弦线的线密度（即单位长度的质量）𝜇之间的关系为𝑣=√𝑇𝜇2)在两端被固定的弦线上形成驻波两列振幅、频率相同，有固定相位差，传播方向相反的简谐波𝑢1(𝑥,𝑡)=𝐴cos(𝑘𝑥−𝜔𝑡−𝜑)𝑢2(𝑥,𝑡)=𝐴cos(𝑘𝑥+𝜔𝑡)u为质点在x处t时刻的位移；A为振幅；𝜔为各质点运动的角频率；k为波数；𝜑为𝑢1与𝑢2之间的相位差的叠加，其合成运动为𝑢(𝑥,𝑡)=2𝐴cos(𝑘𝑥−𝜑2)cos(𝜔𝑡+𝜑2)A(x)=2A的点，振幅最大，是波腹；A(x)=0的点，没有振动，是波节，上述运动状态是驻波。波节两侧的振动相位相反。对于两端固定的弦，入射波和反射波在固定端的相位差为𝜋.驻波的频率𝑓=𝜔2𝜋=𝑘𝑣2𝜋=𝑛𝑣2𝐿𝑓𝑛≡𝑛𝑓1≡𝑛𝑣2𝐿=(𝑛2𝐿)√𝑇𝜇式中：𝑓1称为基频；𝑓𝑛(𝑛1)称为𝑛次谐波。3)共振条件当波长满足下列条件，即当弦上驻波实验2012年11月14日星期三2/6λ=2𝐿𝑛(𝑛=1,2,3,4,…)时，共振现象发生。即当弦线的长度为半波长的整数倍n时，线上形成驻波且振幅最大最稳定。弦线被固定的两端是波节，n为弦线上驻波的波腹个数。【实验内容】1)认识和调节仪器：①实验室提供的弦音计已被安装上一根弦线，请根据说明书，搞清弦音计装置中各部分的功能和作用，并进行实验前的调节，即保证张力杠杆的水平；②用三通接头将驱动线圈分别与信号发生器和示波器的一个通道连接，将探测线圈连接到示波器的另一通道。2)测定弦线上横波的传播速度𝑣n=1~6,L=600mm,T=3Mg3)确定弦线做受迫振动时的共振频率（只取基频）与张力之间的关系𝑓−T,T=Mg~5Mg,L=600mm,n=14)确定弦线做受迫振动时的共振频率（只取基频）与弦线有效长度之间的关系。𝑓−T,T=400mm~700mm,T=3Mg,n=15)确定弦线作受迫振动时的共振频率与弦线线密度之间的关系𝑓−𝜇,𝐿=600𝑚𝑚,𝑇=3𝑀𝑔,𝑛=1,𝜇1,𝜇2,𝜇3【数据表格】砝码质量M=999.20g表1测量弦线的线密度数据表格弦线质量m弦线长度L线密度𝜇=𝑚/𝐿2.32g700mm3.31×10−3kg/m1)表2测定弦线上横波的传播速度𝑣数据表格n=1~6,L=600mm,T=3Mg𝑛𝑓𝑒/𝐻𝑧𝑓𝑡ℎ/𝐻𝑧∆𝑓/𝑓𝑡ℎλ=2𝐿𝑛⁄/(m)𝑣𝑒/(m∙𝑠−1)181.0378.50.03221.20097.22162.3156.90.03440.60097.43241.7235.40.02680.40096.74322.3313.80.02710.30096.75403.1392.30.02750.24096.76483.1470.70.02630.20096.62)表3弦线共振频率（只取基频）与张力之间的关系(f-T)数据表格𝑓−𝑇,𝑇=𝑀𝑔~5𝑀𝑔,𝐿=600𝑚𝑚,𝑛=1T/N𝑓𝑒/𝐻𝑧𝑓𝑡ℎ/𝐻𝑧∆𝑓/𝑓𝑡ℎ𝑣𝑒/(m∙𝑠−1)𝑣𝑡ℎ/(m∙𝑠−1)9.7946.5845.30.028355.954.419.5865.9664.10.029079.276.929.3781.0378.50.032297.294.139.1793.4090.60.0309112.1108.748.96104.36101.30.0302125.2121.53)表4弦线共振频率（只取基频）与弦线有效长度之间的关系（f-L）数据表弦上驻波实验2012年11月14日星期三3/6𝑓−T,T=400mm~700mm,T=3Mg,n=1L/mm𝑓𝑒/𝐻𝑧𝑓𝑡ℎ/𝐻𝑧∆𝑓/𝑓𝑡ℎ𝑣𝑒/(m∙𝑠−1)𝑣𝑡ℎ/(m∙𝑠−1)400121.46117.70.031997.294.1450108.80104.60.040197.994.150096.0394.10.020596.094.160081.0378.50.032297.294.170069.8067.20.038797.794.14)表5确定弦线共振频率与弦线线密度之间的关系（𝑓−𝜇）数据表𝑓−𝜇,𝐿=600𝑚𝑚,𝑇=3𝑀𝑔,𝑛=1,𝜇1,𝜇2,𝜇3𝜇/(×10−3𝑘𝑔∙𝑚−1)𝑓𝑒/𝐻𝑧𝑓𝑡ℎ/𝐻𝑧∆𝑓/𝑓𝑡ℎ𝑣𝑒/(m∙𝑠−1)𝑣𝑡ℎ/(m∙𝑠−1)2.2099.0896.30.03221191153.3181.0378.50.032297.294.15.8160.8559.30.026173.070.9【数据处理与分析】数据表格计算要用到的公式𝑓𝑡ℎ=(𝑛2𝐿)√𝑇𝜇，𝑣𝑡ℎ=√𝑇𝜇，𝑣𝑒=𝑓𝑒𝜆=2𝐿𝑛𝑓𝑒1)弦线的共振频率与弦线上波腹个数的关系𝑓−𝑛由上图，𝑓−𝑛成明显的线性关系。由最小二乘法经计算得，𝑅2=0.99999，斜率slope=81.38Hz，截距intercept=0.92斜率为基频，共振频率基频成正比，与波腹的个数成正比。弦上驻波实验2012年11月14日星期三4/62)弦线共振频率（只取基频）与张力之间的关系f-T最小二乘法计算结果：Equationy=a+b*xAdj.R-Square0.99998ValueStandardErrorIntercept1.171470.00162Slope0.501560.00113由上图，lgf与lgT成很好的线性相关关系。线性相关程度𝑅2=0.99998斜率slope=0.050156≈0.5于是，𝑓与√𝑇成正比。3)弦线共振频率（只取基频）与弦线有效长度之间的关系f-L最小二乘法数据表Equationy=a+b*xAdj.R-Square0.9985ValueStandardErrorIntercept4.67130.0524Slope-0.994330.01929弦上驻波实验2012年11月14日星期三5/6由上图，lgf与lgL成很好的线性相关关系。线性相关程度𝑅2=0.9985斜率slope=−0.99433≈−1于是，𝑓与1𝐿⁄成正比。5)弦线共振频率与弦线线密度之间的关系𝑓−𝜇弦上驻波实验2012年11月14日星期三6/6最小二乘法数据表Equationy=a+b*xAdj.R-Square0.99983ValueStandardErrorIntercept2.168690.00266Slope-0.502440.00467由上图，lgf与lg𝜇成很好的线性相关关系。线性相关程度𝑅2=0.99983斜率slope=−0.50244≈−0.5于是，𝑓与1√𝜇⁄成正比。但由于只有3组点，得出的结论可信度不是很高。由1）2）3）4)得，𝑓=K𝑛𝐿√𝑇𝜇(K为一常数)将测量结果代入上式，可得K=12所以，可得𝑓=𝑛2𝐿√𝑇𝜇，与理论公式相符。【讨论】1)关于误差每组实验数据的相对误差∆𝑓/𝑓𝑡ℎ=0.02~0.04都是正误差且大小相对固定，可以推测主要误差来自系统误差或者是单次测量且重复使用的值。如：测量弦线的线密度时，由于弦线的弯曲，长度测量存在误差。实际线密度小于测量值，所以实际共振频率大于理论值。弦线上所受的张力可能不是所期望的数值，即张力杠杆没有保持水平。实际张力小于期望值，使得实际共振频率产生负偏差。这一因素不是主要因素。弦线发生明显的共振现象时驱动频率有一定范围，引起误差。而且对于某一个共振频率，增大频率调节和减小频率调节的过程中，振幅最大的频率位置往往不同。2)弦振动频率不总等于驱动信号频率，可以是驱动信号频率的2倍。查阅文献得知，这种现象叫做“二分频”。由受迫振动可知,在实验中弦线产生共振,是由于驱动信号给弦线的驱动力不断对系统做功,补充能量的缘故；而在“二分频”现象中,弦线能产生共振驻波,是通过驱动信号作用(即外界)使振动系统的参数按一定规律变化从而达到的状态,此种振动又称参数振动。3)当弦线上波的振幅最大最稳定时，表明形成了驻波。可以由弦线振动情况与示波器波形图共同判断。4)共振状态时，弦n为弦线上驻波的个数。观察弦线两固定端之间振动频率最大的位置的数目即可。5)当驱动频率等于弦振动频率时，通过示波器观察到，驱动频率与弦振动频率相位差𝜋2⁄