第二章推理与证明全章教案

教学目标：1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用．2．掌握归纳推理的一般步骤．3．能利用归纳进行一些简单的推理．教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理．教学难点：用归纳进行推理，做出猜想．教学过程：一、创设情境从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．下面我们来看3个推理案例：案例1前提当0n＝时，21111nn－＋＝；当1n＝时，21111nn－＋＝；当2n＝时，21113nn－＋＝；当3n＝时，21117nn－＋＝；当4n＝时，21123nn－＋＝；当5n＝时，21131nn－＋＝．11，11，13，17，23，31都是质数．结论对于所有的自然数n，211nn－＋的值都是质数．案例2前提矩形的对角线的平方等于长、宽的平方和．结论长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和．案例3前提所有的金属都能导电，铜是金属．结论铜能导电．三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是在推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可以分为合情推理与演绎推理．二、构建新知在案例1中，由“对自然数n的几个特殊值，211nn－＋都是质数”，推出“对所有自然数n，211nn－＋都是质数．”我们再看几个类似的推理实例：1．蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的．因为蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所以我们猜想所有的爬行动物都是用肺呼吸的．2．三角形的内角和是180，凸四边形的内角和是360，凸五边形的内角和是540．归纳推理的一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想．归纳推理的思维过程：三、数学运用例1已知数列{an}的每一项均为正数，221111(12)nnaaan＋＝，＝＋＝，，，试归纳出数列{an}的一个通项公式．分析学生通过具体的：当1n＝时，11a＝，当2n＝时，22112aa＝＋＝，当3n＝时，22213aa＝＋＝．由此我们猜想{an}的一个通项公式为nan＝．实验，观察概括，推广猜测一般性结论例2已知数列{an}的通项公式21()(1)nannN＝∈＋，12()(1)(1)(1)nfnaaa＝－－－．试通过计算(1)(2)(3)fff，，的值，推测出()fn的值．分析学生讨论结果预测如下：113(1)1144fa＝－＝－＝1213824(2)(1)(1)(1)(1))94936faaf＝－－＝－＝＝＝12312155(3)(1)(1)(1)(2)(1)163168faaaf＝－－－＝－＝＝由此猜想，2()2(1)nfnn＋＝＋四、学生探究1．已知111()1()23fnnnN＝＋＋＋＋∈，经计算：3(2)2f＝，(4)2f＞，5(8)2f＞，(16)3f＞，7(32)2f＞，推测当2n≥时，有_______________________．2．已知：2223sin30sin90sin1502＋＋＝，2223sin5sin65sin1252＋＋＝．观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之．3．观察（1）tan10tan20tan20tan60tan60tan101＋＋＝．（2）tan5tan10tan10tan75tan75tan51＋＋＝．由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．五、课堂总结1．归纳推理的特点：（1）归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围．（2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性．（3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上．提出带有规律性的结论．（4）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理．通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．2．归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同的性质．（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）．六、课后作业教材第66页练习第2题，第3题，第4题，第5题．教学目标：1．了解类比推理的概念和归纳推理的作用，懂得类比推理与归纳推理的区别与联系．2．掌握类比推理的一般步骤．3．能利用类比进行一些简单的推理．教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理．教学难点：用类比进行推理，做出猜想．教学过程：一、复习引入：1.什么叫推理？推理由哪几部分组成？2.合情推理的主要形式有．3.归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式．4.归纳推理的特点:．5．222233＋＝，333388＋＝，44441515＋＝，…，66aabb＋＝（a，b均为实数），请推测a＝b＝．二、创设情境在案例2中，由矩形对角线的某一性质，推出长方体的对角线具有类似的性质．这个推理过程是归纳推理吗？我们再看几个类似的推理实例：1．据传，春秋时代鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了锯子．他的思维过程可能为：齿形草能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．2．试根据等式的性质猜想不等式的性质．等式与不等式有不少相似的属性，例如：三、构建新知上述几个例子均是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理（reasoningbyanalogy），简称类比法．类比推理的一般步骤：（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；（3）检验猜想，归纳推理的思维过程：类似推理的思维过程：四、数学运用例1（G.波利亚的类比）类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质．解在实数的加法与乘法之间，可以建立如下的对应关系：实验，观察概括，推广猜测一般性结论加（＋）乘（×）加数、被加数乘数、被乘数和积等等，它们具有下列类似的性质：表2-1-2加法的性质乘法的性质abba＋＝＋abba＝()()abcabc＋＋＝＋＋()()abcabc＝()0aa＋－＝1()1aa×＝0aa＋＝1aa×＝例2试将平面上的圆与空间的球进行类比．圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合．球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合．圆截面圆弦大圆直径周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线五、学生探究1．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．2．若数列{an}为等差数列，且()mnaxaymnmnN＝，＝≠，，∈，则mnmxnyamn＋－＝－．现已知数列{bn}(bn＞0，n∈N＋)为等比数列，且mbx＝，nby＝()mnmnN≠，，∈类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？六、课堂总结1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠．2．类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或者一致性．（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．七、课后作业教材第68页练习第1题，第2题，第3题，第4题．教学目标：1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用，了解演绎推理与合情推理的区别与联系．2．掌握归纳推理的一般步骤．3．能利用归纳进行一些简单的推理．教学重点：了解演绎推理的含义，能利用演绎推理进行简单的推理．教学难点：必经过切点必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学过程：二、创设情境在数学学习中，除了合情推理，我们更多使用的是一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法．例如，在案例3中，“铜能导电”的结论就是通过如下推理得到的：所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能导电．我们再看一个类似的推理案例．在学习整数时，有下面的推理：个位数字是0或5的正整数必是5的倍数，2375的个位数字是5，所以，2375是5的倍数．二、构建新知像这样的推理通常称为演绎推理（deductiveinference）．三段论式推理是演绎推理的主要形式，常用的格式为：M—P（M是P）S—M（S是M）S—P（S是P）三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P．三、数学运用例1△ABC中，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，//DEBA，求证：AFED．分析（1）同位角相等，两直线平行，（大前提）BFD与A是同位角，且BFDA＝，（小前提）所以，EADF//．（结论）（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）BADE//，且EADF//，（小前提）所以，四边形AFDE为平行四边形．（结论）（3）平行四边形的对边相等，（大前提）ED和AF为平等四边形的对边，（小前提）所以，EDAF＝．（结论）上面的证明通常简略地表述为：////BFDADFEADEBA＝四边形AFDE是平行四边形EDAF＝．例2已知a，b，m均为正实数，ba＜，求证：bbmaam＋＜＋．分析0bambmam＜＜＞abmbabma＋＜＋又()()()0bamabmaam＋＜＋＋＞()()()()bamabmaamaam＋＋＜＋＋bbmaam＋＜＋．证明过程包含了几个三段论？例3在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，求证：AB的中点M到D，E的距离相等．分析（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形——大前提在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°——小前提所以△ABD是直角三角形——结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半——大前提因为DM是直角三角形斜边上的中线——小前提所以DM＝21AB——结论同理EM＝AB，所以DM＝EM．四、学生探究1．下列表述正确的是．①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．2．把下列演绎推理写成“三段论”的形式．（1）三角函数都是周期函数，y＝tanx是三角函数，所以y＝tanx是周期函数．（2）一切奇数都不能被2整除，（2100＋1）是奇数，所以（2100＋1）不能被2整除．五、课堂总结1．演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．2．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．3．演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．六、课后作业教材第72页练习3，5．教学目标：1．了解合情推理和演绎推理的含义．2．能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理．3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的．教学过程：一、知识回顾从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．合情推理和演绎推理